Enunciado

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = 2 x , y = 0 e pelas retas x = 1 em torno

  1. Da reta x = 1 .
  2. Da reta x = 2 .

Passo 1

Precisamos obter o volume de um sólido de revolução obtido através da rotação de uma região em relação a duas retas paralelas ao eixo y . Inicialmente, esboçaremos a nossa região limitada, deixando claro a metodologia necessária para resolvermos o nosso problema.

Entretanto, temos que tomar um grande cuidado. Por se tratar de retas paralelas aos eixos coordenados, será necessário escrever a nossa curva em relação ao eixo de rotação. Por isto, faremos uma translação vertical da nossa função antes de calcularmos o volume!

Passo 2

Vamos começar por esboçar a nossa região limitada pelas curvas.

Em destaque temos a região limitada pelas curvas e em vermelho o nosso eixo de rotação. Como queremos obter a rotação em torno da reta x = 1 , utilizaremos o método dos discos. Este método nos diz que o volume do sólido é dado pela seguinte integral:

V = ∫ c d A y d x = ∫ c d π R y 2   d y

Em que R y é a função que define o raio do disco transversal ao eixo de rotação. Vamos repetir a nossa figura da região para deixar claro quem é essa curva!

Agora fica claro quem é a nossa função! Em relação ao nosso sistema de coordenadas inicial, ela é:

R y = y 2

Observe que para obter a função R ( y ) , a incógnita x foi isolada na equação da reta y = 2 x .

Passo 3

Podemos partir logo para a integração agora que determinamos as curvas? A resposta é simples e clara: não!! Calma, não sejamos apressados!

A função R ( y ) que obtivemos está escrita em relação ao nosso sistema de coordenadas original: origem, eixo x e eixo y . Precisamos escrever esta curva em relação ao nosso eixo de rotação. Para isto, é necessário fazer uma translação vertical. Como o eixo y corresponde à reta x = 1 transladada para à esquerda em 1 unidade, a nossa função deve ser transladada para à esquerda em 1 unidade também! Portanto, temos:

R t y = R y - 1 = y 2 - 1

Vamos pegar o valor absoluto da função, só para fins de sentido, pois como R t ( y ) determina um raio, ele deve ser maior que 0. Portanto,

R t y = 1 - y 2

Passo 4

Agora sim! Obtivemos as curvas em relação a nossa reta de rotação e só nos falta determinar os limites de integração. Para isto, basta responder a seguinte pergunta: qual o menor e o maior valor de y na nossa região? Eles são 0 e 2, respectivamente. Agora sim, vamos calcular a nossa integral!

V = ∫ 0 2 π 1 - y 2 2 d y

V = ∫ 0 2 π 1 - y + y 2 4 d y

V = π y - y 2 2 + y 3 12 0 2 = π 2 - 2 + 8 12

V = 2 π 3

Resposta

V = 2 π 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva y = 3 csc 3 ⁡ x pelo eixo x e pelas reta x = 1 6 π e x = 1 2 π em torno do eixo x .
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região do Exercício 39 em torno do eixo x.
A região no primeiro quadrante limitado pela curva y = c o s x e pelas retas y = 1 e x = π 2 gira em torno do eixo x. Ache o volume do sólido gerado.
A região limitada pelo eixo y e pelas curvas y = s e n x e y = c o s x para 0 ≤ x ≤ π 4 gira em torno do eixo x. Ache o volume do sólido de revolução gerado.
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região do Exercício 39 em torno da reta y = 1 .