Enunciado

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno

  1. Do eixo x .
  2. Do eixo y .
  3. Da reta y = 2 .
  4. Da reta x = 4 .

Passo 1

Precisamos obter o volume de um sólido de revolução obtido através da rotação de uma região em relação aos eixos coordenados, x e y , e em relação a retas paralelas a eles. Para cada um dos casos, discutiremos um pouco a metodologia necessária para calculá-los. Entretanto, todos eles possuem uma necessidade em comum: esboçar a região limitada! Começaremos por entender como é esta região.

Passo 2

Vamos começar por esboçar a nossa região limitada pelas curvas.

Em destaque temos a região limitada pelas curvas. Como queremos obter a rotação em torno do eixo y , utilizaremos o método dos discos. Este método nos diz que o volume do sólido é dado pela seguinte integral:

V = ∫ c d A y d y = ∫ c d π R y 2 d y

Em que R ( y ) é a função que define o raio dos discos transversais ao eixo de rotação. Vamos repetir a nossa figura da região para deixar claro quem é essa curva!

Agora fica claro quem é a nossa função! Ela é:

R y = y 2

Observem que a mudança feita foi isolar o x na função y = x .

Passo 3

Agora que obtemos as curvas, só nos falta determinar os limites de integração. Para isto, basta responder a seguinte pergunta: qual o menor e o maior valor de y na nossa região? Eles são 0 e 2, respectivamente. Agora sim, vamos calcular a nossa integral!

V = ∫ 0 2 π y 2 2   d y

V = ∫ 0 2 π y 4   d y

V = π y 5 2 0 2 = π 32 5

V = 32 π 5

Resposta

V = 32 π 5

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Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo x y = e - x y = 0 x = 0 x = 1
Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo x y = 9 - x 2 y = 0
Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo x y = sec ⁡ x y = 0 x = - π 4 x = π 4
Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo x y = e x - 1 y = 0 x = 1 x = 3
Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo x y = 1 2 x y = 0 x = 1 4 x = 4