Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por e pelas retas e em torno
- Do eixo .
- Do eixo .
- Da reta .
- Da reta .
Passo 1
Oii, belezinha? 😉
Precisamos obter o volume de um sólido de revolução obtido através da rotação da seguinte região dada por:
E limitada pelas retas e e em torno da reta .
Para isso, devemos saber que o volume é determinado pela seguinte integral:
Onde é a área limitada!
Começaremos por entender como é esta região. Bora lá!! 😉
Passo 2
Vamos começar por esboçar a nossa região limitada pelas curvas.
Em destaque temos a região limitada pelas curvas e em vermelho o nosso eixo de rotação. Como queremos obter a rotação em torno da reta , uma reta paralela ao eixo , utilizaremos o método dos discos. Este método nos diz que o volume do sólido é dado pela seguinte integral:
Em que é a função que define o raio dos discos transversais ao eixo de rotação. Vamos repetir a nossa figura da região para deixar claro quem é essa curva!
Agora fica claro quem é a nossa função! Em relação ao nosso sistema de coordenadas inicial, ela é
Passo 3
Podemos partir logo para a integração agora que determinamos as curvas? A resposta é simples e clara: não!! Calma, não sejamos apressados!
A função que obtivemos está escrita em relação ao nosso sistema de coordenadas original: origem, eixo e eixo . Precisamos escrever esta curva em relação ao nosso eixo de rotação. Para isto, é necessário fazer uma translação vertical. Como o eixo corresponde à reta transladada para baixo em 2 unidades, a nossa função deve ser transladada para baixo em 2 unidades também! Portanto, temos:
Passo 4
Agora sim! Obtivemos as curvas em relação a nossa reta de rotação e só nos falta determinar os limites de integração. Para isto, basta responder a seguinte pergunta: qual o menor e o maior valor de na nossa região? Eles são 0 e 4, respectivamente. Agora sim, vamos calcular a nossa integral!