Enunciado

Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas.

1 1 .   x 2 + y 2 - 4 x - 6 y + 4 = 0 ,   z = 0 e z = 5 y

Passo 1

O sólido é delimitado superiormente por z = 5 y , inferiormente por z = 0 e lateralmente por x 2 + y 2 - 4 x - 6 y + 4 = 0 .

Devemos completar quadrados para descobrirmos a circunferência:

x 2 - 4 x + 4 = x - 2 2

y 2 - 6 y + 9 = y - 3 2

Então, temos uma circunferência com o centro em 2 ,   3 e com raio igual a 3:

x - 2 2 + y - 3 2 = 9

Agora, utilizaremos de substituições para facilitarmos a resolução:

u = x - 2 e v = y - 3

u 2 + v 2 = 9

J = 1 0 0 1 = 1

Assim, a equação do volume fica:

V = ∬ 5 y d x d y = ∬ 5 ( v + 3 ) d u d v

Passo 2

Agora, transformando para coordenadas polares, temos:

0 ≤ r ≤ 3

0 ≤ θ ≤ 2 π

V = ∬ 5 ( v + 3 ) d u d v = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 5 r   s e n   θ + 3 ⋅ r d r d θ

Passo 3

Integrando para r :

∫ 0 3     ( 5 r 2 s e n   θ + 15 r )   d r = 5 r 3 3 s e n   θ + 15 r 2 2

Aplicando os limites:

27 - 0 ⋅ 5 3 s e n   θ + 9 - 0 ⋅ 15 2 = 45   s e n   θ + 135 2

Passo 4

Integrando para θ :

∫ 0 2 π 45   s e n   θ + 135 2 d θ = - 45 cos ⁡ θ + 135 2

Aplicando os limites:

cos ⁡ 2 π - cos ⁡ 0 ⋅ - 45 + 2 π - 0 ⋅ 135 2 = 1 - 1 ⋅ - 45 + 135 π = 135 π

Resposta

135 π   u . v .

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