Enunciado

Determine o volume do sólido por subtração de dois volumes.

O sólido sob o plano z = 3 , acima do plano z = y e entre os cilindros carabólicos y = x 2 e y = 1 - x 2 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Vamos resolver as equações parabólicas:

x 2 = 1 - x 2

x 2 = 1 2

x = ± 1 2

x = ± 1 2

Passo 2

Agora que achamos os limites, é só aplicar e resolver a integral. Temos que:

D = x , y | - 1 2 ≤ x ≤ 1 2   , x 2 ≤ y ≤ 1 - x 2  

Assim, a integral dupla pode ser escrita como:

V = ∬ D f x , y d A = ∫ - 1 / 2 1 / 2 ∫ x 2 1 - x 2 f ( x , y ) d y d x

Logo:

V = ∫ - 1 / 2 1 / 2 ∫ x 2 1 - x 2 3 - y d y d x

Vamos resolver a integral de dentro:

∫ x 2 1 - x 2 3 - y d y = 3 y - y 2 2 x 2 1 - x 2

Agora, aplicando os limites de integração, temos:

∫ x 2 1 - x 2 3 - y d y = 3 1 - x 2 - 1 - x 2 2 2 - 3 x 2 - x 2 2 2

∫ x 2 1 - x 2 3 - y d y = 5 2 - 5 x 2

Logo, substituindo, temos:

∫ - 1 / 2 1 / 2 ∫ x 2 1 - x 2 3 - y d y d x = ∫ - 1 / 2 1 / 2 5 2 - 5 x 2 d x

Passo 3

Agora é só resolver:

V = ∫ - 1 / 2 1 / 2 5 2 - 5 x 2 d x = 5 2 x - 5 x 3 3 - 1 / 2 1 / 2

Fazendo as contas, temos:

V = 5 2 3

Resposta

V = 5 2 3

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