Enunciado

3 . Utilizando o teorema de Pappus (veja Vol. 1, 5.ª edição), calcule o volumedo sólido obtido pela rotação, em torno da reta dada, do conjunto B dado.

b. B é o conjunto de todos (x, y) tais que x 2   ≤   y   ≤   x e y = x - 1 a reta.

Passo 1

O teorema de Pappus diz que

V = 2 π r - A

Onde r - é a distância entre o centro do nosso objeto a reta

A Area do objeto que estamos rotacionando

Passo 2

Neste item vamos calcular

x 2   ≤   y   ≤   x

Na reta

  y   =   x -   1

Para calcular área e o centro de massa dessa superfície não sera tao trivial. Afinal nossa superfície é

A interseção dessas duas curvas no intervalo

0 < x < 1

Assim a área sera

A =   ∫ 0 1 x - x 2 d x

A = x 2 2 - x 3 3 0 1

A = 1 6

Passo 3

Geometricamente teremos

Precisamos primeiro descobrir o centro de massa e depois descobrir distancia de ponto a reta. O centro de massa pode ser calculado como

x c =   ∫ ∫ x δ   d x d y

y c =   ∫ ∫ y δ   d x d y

Onde δ é a densidade da nossa superfície, que podemos definir como

δ = M a s s a A r e a

Como o enunciado não nos diz nada a respeito dessa Massa, podemos assumir como homogênea e igual a 1, obtendo por fim

δ = 1 A r e a

Passo 4

Vamos calcular o centro de massa, começando por x

x c =   ∫ ∫ x δ   d x d y

x c =   ∫ 0 1 ∫ x 2 x x 1 1 6         d y d x

x c =   6 ∫ 0 1 ∫ x 2 x x d y d x

x c =   6 ∫ 0 1 x x - x 2 d x

x c =   6 x 3 3 - x 4 4 0 1

x c =   6 1 12 → 1 2

Agora vamos calcular o centro de y

y c =   ∫ ∫ y δ   d x d y

y c =   6 ∫ 0 1 ∫ x 2 x y d y d x

y c =   6 ∫ 0 1 y 2 2 y = x 2 x d x

y c =   6 1 2   ∫ 0 1 x 2 - x 4 d x

y c =   3   x 3 3 - x 5 5 0 1

y c =   3 1 3 - 1 5 → 2 5

Passo 5

Agora so nos resta calcular distancia entre ponto a reta, nosso ponto é

1 2 , 2 5

E nossa reta

g   :   y - x - 1 = 0

Nossa equação da distancia é

r - = g x c , y c | ∇ g |

r - = 2 5 - 1 2 - 1 1 + 1

r - = 9 10 2

Por fim podemos calcular o nosso volume

V = 2 π r - A

V = 2 π 9 10 2 1 6

V = 3 10 2 π

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

V = 3 10 2 π

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Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Delimitado pelo hiperboloide - x 2 - y 2 + z 2 = 1 e pelo plano z = 2 .
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido.Abaixo do paraboloide z = 18 - 2 x 2 - 2 y 2 e acima do plano x y .
Determine a área da superfície.A parte da superfície z = x y que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 .