Enunciado

3 . Utilizando o teorema de Pappus (veja Vol. 1, 5.ª edição), calcule o volumedo sólido obtido pela rotação, em torno da reta dada, do conjunto B dado.

a. B é o círculo x 2   +   y 2   ≤   1   e   y   =   x   +   2 a reta.

Passo 1

O teorema de Pappus diz que

V = 2 π r - A

Onde r - é a distância entre o centro do nosso objeto a reta

A Area do objeto que estamos rotacionando

Passo 2

Neste item vamos calcular

x 2   +   y 2   ≤   1  

Na reta

  y   =   x   +   2

De cara podemos Calcular a área da nossa superfície.

A = π r 2 → π

Passo 3

Geometricamente teremos

Queremos no caso a distancia do Ponto (0,0) ate a reta. E como já vimos em geometria analítica, a menor distancia é a que é perpendicular a reta e transpassa o ponto, ou seja a reta cinza

Logo podemos concluir que

r - = 2

Assim

V = 2 π r - A

V = 2 π 2 π

V = 2 2 π 2

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

V = 2 2 π 2

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Use um sistema de computação algébrico para determinar o volume exato do sólido.Abaixo da superfície z = x 3 y 4 + x y 2 e acima da região limitada pelas curvas y = x 3 - x e y = x 2 + x para x ≥ 0 .
Calcule ∫ ∫ D 1 - x 2 - y 2d A , onde D é o disco x 2 + y 2 ≤ 1 , identificando primeiro a integral como o volume de um sólido.
Desenhe o sólido limitado pelo plano x + y + z = 1 e pelo paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 e determine seu volume exato. (Utilize seu SCA para fazer esse desenho, para achar as equações das fronteiras da
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 16 e fora do cilindro x 2 + y 2 = 4 .
19. Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido. Abaixo do cone z = x 2 + y 2 e acima do disco x 2 + y 2 ≤ 4 .