Enunciado

Determine a área da região limitada pelas curvas:

a   x = y 3 , x + y = 2 e y = 0 .

Passo 1

E aí, galerinha!! Vamos lá com mais um exercício com o Responde Aí!! :D

Sabemos que a integral dupla representa geometricamente o volume de uma região no espaço. Então, como a área possui uma dimensão a menos que o volume, ela pode ser representada por uma única integral simples:

A = ∫ a b f x d x

Assim, com as curvas dadas no enunciado, podemos determinar os limites de integração e a função de x que representa a região.

Passo 2

Dessa forma, a primeira coisa a se fazer é o esboço da nossa região que é dada por:

Podemos perceber que ela possui uma mudança de forma em x = 1 (uma curva à esquerda e um triângulo retângulo à direita). Então, iremos separá-la em duas regiões diferentes, sendo que a área de cada uma será representa por integrais diferentes.

O próximo passo é definir a função f x de cada curva. Então, dizendo que a região à esquerda é a região 1 , a sua curva é dada por:

x = y 3 → y = x 3

Já a curva da região 2 (região à direita) é dada por:

x + y = 2 → y = x - 2

Mas como ela possui a forma exata de um triângulo retângulo e nós sabemos as dimensões em cada variável, podemos aplicar a fórmula da área de um triângulo de forma direta. Então a sua área será dada por:

A t r i â n g u l o = b ∙ h 2

Passo 3

Com isso, vamos calcular a integral da primeira região que pode ser escrita como:

A R 1 = ∫ 0 1 x 3 d x = ∫ 0 1 x 1 / 3 d x

Aqui, o seu intervalo de integração está bem definido no esboço da região, tal que:

0 ≤ x ≤ 1

Então, resolvendo a integral:

A R 1 = 3 4 x 4 / 3 | 1 0

E substituindo os intervalos de integração, temos:

A R 1 = 3 4 1 - 0 = 3 4

Passo 4

Já para a segunda região, o cálculo é bem mais fácil:

A R 2 = b ∙ h 2 = 1 ∙ 1 2

⇒ A R 2 = 1 2

Passo 5

Por fim, sabemos que a nossa região é dada pela interseção dessas duas regiões que consideramos. Então, a área total é a soma das áreas de cada região, ou seja:

A = A R 1 + A R 2

Portanto:

A = 3 4 + 1 2

Encontrando o MMC:

A = 3 + 2 4

∴ A = 5 4

Resposta

A = 5 4

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