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Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas) - Capítulo 6.1 - Ex. 26

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Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo x

y = cotg ⁡ x

e i x o   x   d e   x = π 6   a   x = π 2

Passo 1

A curva que ele deu é:

y = co tg ⁡ x

Essa curva é algo beeem estranho, mas ele deu o intervalo de variação de x , indo de π 6 a π 2

Olha como é o esboço:

A região é entre a curva verde e a azul, limitada inicialmente pela laranja.

Se olharmos com cuidado, o x = π 2 vai fazer a contangente ser 0 , então é exatamente como a figura, onde cruza o eixo x .

Entao a região vai de x = π 6 até x = π 2 . Onde o raio do disco vai ser a função verde:

r x = cotg ⁡ x

O volume vai ser:

V = ∫ π 6 π 2 π cotg ⁡ x 2 d x

Como a expressão da curva é a parte positiva, acima do eixo x , vamos ter:

co tg ⁡ x 2 = co tg ⁡ x

V = ∫ π 6 π 2 π co tg ⁡ x d x

Passo 2

Vamos resolver essa integral:

V = ∫ π 6 π 2 π cotg ⁡ x d x

V = π ∫ π 6 π 2 cotg ⁡ x d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ cotg ⁡ x d x = - cosec 2 ⁡ x + C

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

V = π ∫ π 6 π 2 cotg ⁡ x d x = π - cosec 2 ⁡ x π 6 π 2 =

π - cosec 2 ⁡ π 2 - π - cosec 2 ⁡ π 6 =

Lembrando que:

cosec ⁡ x = 1 sen ⁡ x

E

sen ⁡ π 2 = 1

sen ⁡ π 6 = 1 2

Vamos ter:

π - cosec 2 ⁡ π 2 - π - cosec 2 ⁡ π 6 =

π - 1 1 2 - π - 1 1 2 2 =

π - 1 - π - 4 =

- π + 4 π

3 π

Resposta

3 π

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