Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas) - Capítulo 4.3 - Ex. 13

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desse livro

Responda às perguntas seguintes sobre as funções cujas derivadas são dadas:

  1. Quais são os pontos críticos
  2. Em quais intervalos f é crescente ou decrescente?
  3. Em quais pontos, se houver f assume máximos e mínimos locais?

f ' x = ( sin ⁡ x - 1 ) ( 2 cos ⁡ x + 1 ) 0 ≤ x ≤ 2 π

Passo 1

Para encontrar os pontos críticos façamos o seguinte:

( sin ⁡ x - 1 ) ( 2 cos ⁡ x + 1 ) = 0

Para sin ⁡ x - 1 temos:

sin ⁡ x - 1 = 0

sin ⁡ x = 1

x =   π 2

Para 2 cos ⁡ x + 1 temos:

2 cos ⁡ x + 1 = 0

cos ⁡ x =   - 1 2

x =   2 π 3   e   x = 4 π 3

Pontos críticos: π 2 , 2 π 3 , 4 π 3

Passo 2

Agora, vamos fazer o estudo do sinal para verificar onde a função cresce e decresce. Beleza?

Logo,

f   é crescente no intervalo ( 2 π 3 , 4 π 3   )

f   é decrescente no intervalo 0 ,   π 2 ⋃ π 2 ,   2 π 3 ⋃ ( 4 π 3 , 2π)

Passo 3

No teste da primeira derivada para os extremos locais vale o seguinte:

Seja c um ponto crítico de uma função contínua f e essa função é derivável em qualquer ponto do intervalo que contenha c então:

  1. Se f ' passa de negativa a positiva em c, então f   possui mínimo local em c ;
  2. Se f ' passa de positiva a negativa em c, então f   possui máximo local em c ;
  3. Se f ' não muda de sinal em c, então f não tem extremo local em c

Assim, podemos afirmar que f assume máximo local quando x = 0 e x =   4 π 3 e mínimo local quando x =   2 π 3 e x = 2 π

Resposta

Pontos críticos: π 2 , 2 π 3 , 4 π 3

f   é crescente no intervalo ( 2 π 3 , 4 π 3   )

f   é decrescente no intervalo 0 ,   π 2 ⋃ π 2 ,   2 π 3 ⋃ ( 4 π 3 , 2π)

f assume máximo local quando x = 0 e x =   4 π 3 e mínimo local quando x =   2 π 3 e x = 2 π

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