Enunciado

34. Seja F x = ∫ 0 x f t d t . Mostre que, se f for par, então F será ímpar, e que, se f for ímpar, F será par.

Passo 1

Fala galera!!!

Vamos considerar a seguinte integral:

F x = ∫ 0 x f t d t

Nosso objetivo é provar que  F é uma função ímpar, quando  f é uma função par. E  F é função par, quando  f é uma função ímpar.

Para resolver essa questão, é bom lembrar que se para x   ∈ D o m í n i o   d e   f a função f se comportar f - x = f x , então, f x é uma função par. E se para x   ∈ D o m í n i o   d e   f a função f se comportar f - x = - f x , então, f x é uma função ímpar.

Passo 2

Vamos supor que  f seja uma função par. Isso implica que  f - x = f x . Vamos também considerar a seguinte expressão:

F - x = ∫ 0 - x f t d t

Podemos dizer o seguinte:

t = - u

Agora, vamos diferenciar os dois lados da relação acima, em relação a t .

d d t t = d d t - u

1 = - d u d t

d t = - d u

Temos que quando t = - x implica que u = x . Quando t = 0 implica que u = 0 . Então, substituindo t = - u e d t = - d u variando de 0 ate x . A integral se torna a seguinte:

F - x = ∫ 0 - x f t d t

F - x = ∫ 0 x f - u - d u

F - x = - ∫ 0 x f - u d u

Substituindo a variável u por t temos o seguinte:

F - x = - ∫ 0 x f - t d t

Como nós consideramos f sendo uma função par. Então:

F - x = - ∫ 0 x f t d t

Pela suposição feita no enunciado, temos que:

F - x = - F x

Portanto, temos que F x é uma função ímpar.

Passo 3

Vamos supor que  f seja uma função ímpar. Isso implica que  f - x = - f x . Vamos também considerar a seguinte expressão:

F - x = ∫ 0 - x f t d t

Podemos dizer o seguinte:

t = - u

Agora, vamos diferenciar os dois lados da relação acima, em relação a t .

d d t t = d d t - u

1 = - d u d t

d t = - d u

Temos que quando t = - x implica que u = x . Quando t = 0 implica que u = 0 . Então, substituindo t = - u e d t = - d u variando de 0 ate x . A integral se torna a seguinte:

F - x = ∫ 0 - x f t d t

F - x = ∫ 0 x f - u - d u

F - x = - ∫ 0 x f - u d u

Substituindo a variável u por t temos o seguinte:

F - x = - ∫ 0 x f - t d t

Como nós consideramos f sendo uma função ímpar. Então:

F - x = - ∫ 0 x - f t d t

F - x = ∫ 0 x f t d t

Pela suposição feita no enunciado, temos que:

F - x = F x

Portanto, temos que F x é uma função par.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 15 a 22:(a) Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.(b) Esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.22. f x = L
Em cada um dos problemas de 23 a 26:(a) Encontre a série de Fourier indicada na função dada.(b) Esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.(c) Faça o gráf
31. Prove que, se f for uma função ímpar, então ∫ - L L f x d x = 0
Em cada um dos problemas de 23 a 26:(a) Encontre a série de Fourier indicada na função dada.(b) Esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.(c) Faça o gráf
Em cada um dos problemas de 23 a 26:(a) Encontre a série de Fourier indicada na função dada.(b) Esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.(c) Faça o gráf