Enunciado

Nos exercícios de 23 a 42, prove que o limite é o número indicado, aplicando a Definição 2.1.1.

41) lim x → 2 ⁡ 6 x ² - 13 x + 5 = 3

Passo 1

Para satisfazer a Definição 2.1.1 precisamos mostrar que para todo ϵ > 0 , existe um δ > 0 . Para começar vamos definir os valores de f x ,   a   e   L . Dada a definição de limite:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Assumimos que:

f x = 6 x ² - 13 x + 5

a = 2

L = 3

Sendo assim:

0 < x - 2 < δ

f x - 3 < ϵ

Para encontrar um δ > 0 o primeiro passo é substituir f x na desigualdade:

Passo 2

Substituindo f x :

6 x ² - 13 x + 5 - 3 < ϵ

6 x ² - 13 x + 2 < ϵ

Fatorando:

6 ( x - 2 ) ( x - 1 6 ) < ϵ

( x - 2 ) ( 6 x - 1 ) < ϵ

Pela definição de módulo:

x - 2 | | ( 6 x - 1 ) < ϵ

Pela desigualdade que o problema nos forneceu, temos:

x - 2 < δ

Em seguida precisamos obter uma desigualdade para o termo ( 6 x - 1 ) .   Essa desigualdade poderá ser obtida impondo uma restrição a δ , sendo assim podemos assumir que δ = 1 :

x - 2 < 1

Removendo o módulo:

- 1 < x - 2 < 1

A partir desta desigualdade podemos chegar a ( 6 x - 1 ) multiplicamos seus termos por 6 e somamos 11:

5 < 6 x - 1 < 17

Então

6 x - 1 < 17       e       x - 2 < δ

Substituindo :

x - 2 | | ( 6 x - 1 ) = δ . 17 < ϵ

δ < ϵ 17

Isso significa que devemos impor sobre δ duas restrições, δ ≤ 1   e δ ≤ ϵ 17 . Assim sendo, ambas as restrições estarão satisfeitas de tomarmos o menor desses dois números, em símbolos δ = min ⁡ ( 1 , ϵ 17 )

Assim, estabelecemos que tendo escolhido δ = min ⁡ ( 1 , ϵ 17 ) , para todo   ϵ > 0 , a seguinte afirmativa é verdadeira:

se

0 < x - 2 < δ

então

f x - 3 < ϵ

Isso prova que

lim x → 2 ⁡ 6 x ² - 13 x + 5 = 3

Resposta

δ = min ⁡ ( 1 , ϵ 17 )

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Se r for uma função racional, use o Exercicío 53 para mostrar que lim x → a ⁡ r ( x ) = r ( a ) para todo número a no domínio de r .
Para o limite lim x → 1 ⁡ ( 4 + x - 3 x 3 ) = 2 ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 1 e ε = 0,1 .
Dado que lim x → π 2 ⁡ tg ² ⁡ x = ∞ ² , ilustre a Definição 6 encontrando os valores de δ que correspondam a M = 1000 e M = 10000 .
Para o limite lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → - 5 ⁡ 4 - 3 x 5 = 7