Enunciado

O diagrama esquemático apresentado representa um circuito elétrico que consiste em uma força eletromotriz que produz uma voltagem V , um resistor com resistência R e um indutor com indutância L . A teoria dos circuitos elétricos mostra que, se uma voltagem for aplicada no instante t = 0 , então a corrente I que percorre o circuito no instante t é dada por

I = V R ( 1 - e ( - R t / L ) )

Qual é o efeito sobre a corrente em um dado tempo t fixo, se a resistência tender a zero (isto é, R → 0 + )?

Passo 1

Aqui basta que calculemos o limite pra função que representa a corrente, quando a resistência tender a zero. Pra isso, consideramos todas as outras variáveis da situação como constantes.

Calcularemos:

lim R → 0 + ⁡ I = l i m R → 0 + V R ( 1 - e ( - R t / L ) )

Passo 2

Sendo V constante, passamos ela pra fora do limite, e teremos:

V ∙ l i m R → 0 + 1 - e ( - R t / L ) R

Aplicando 0 em R , dentro da função, chegaríamos a indeterminação 0 0 . Podemos resolver isso aplicando a rega de L’Hôpital, derivando numerador e denominador. Vamos ter:

V ∙ l i m R → 0 + 1 - e - R t L R = V ∙ l i m R → 0 + - t L ∙ - e - R t L 1 =

V ∙ l i m R → 0 + t L ∙ e - R t L

Já podemos aplicar o 0 na função resultante sem problemas. Nisso, vamos obter:

V ∙ l i m R → 0 + t L ∙ e - R t L = V ∙ t L ∙ e - 0 ∙ t L

V ∙ t L ∙ e 0 = V ∙ t L ∙ 1 = V ∙ t L

Assim, no que a resistência do circuito tende a ficar cada vez mais próxima de zero, a corrente tende a assumir o valor de I = V ∙ t L .

Resposta

A corrente tenderá ao valor I = V ∙ t L

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