Enunciado

25 – 28. Diferencie f e encontre o domínio de f .

27. f x = x 2 ln ⁡ 1 - x 2

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função

f x = x 2 ln ⁡ 1 - x 2

E nosso objetivo é calcular sua derivada e o domínio de f .

Tem ideia de como fazemos isso?

A primeira coisa que podemos perceber ao analisar a questão é que temos um produto de funções de x , dessa forma, para iniciar o calculo da derivada podemos aplicar a regra do produto

f x = g x · h x ,     f ' x = g ' x · h x + g x · h ' x

Porem, podemos perceber que uma das funções é composta, então quando formos calcular a derivada de ln ⁡ 1 - x 2 vamos ter qua aplicar a regra da cadeia

f x = g h x ,     f ' x = h ' x · g ' h x

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Vamos começar aplicarndo a regra do produto

f ' x = d x 2 d x · ln ⁡ 1 - x 2 + x 2 · d ln ⁡ 1 - x 2 d x

Como vimos no passo 1, para calcular a derivada de ln ⁡ 1 - x 2 temos que aplicar a regra da cadeia...

f ' x = d x 2 d x · ln ⁡ 1 - x 2 + x 2 · d 1 - x 2 d x · d ln ⁡ u d u

Pela regra da potencia, temos que

d x 2 d x = 2 x

d 1 - x 2 d x = - 2 x

Já pelo teorema fundamental do calculo, temos

d ln ⁡ u d u = 1 u

Substituindo em f ' , vamos obter

f ' x = 2 x · ln ⁡ 1 - x 2 + x 2 · - 2 x · 1 u

f ' x = 2 x ln ⁡ 1 - x 2 - 2 x 3 u

Não podemos deixar o resultado em função de u , então voltamos para 1 - x 2

f ' x = 2 x ln ⁡ 1 - x 2 - 2 x 3 1 - x 2

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Tambem foi pedido que definíssemos o domínio da função f

Se f x = x 2 ln ⁡ 1 - x 2 e o domínio da função é o conjunto de valores que x pode assumir par que a função exista, temos que o termo x 2 pode assumir qualquer valor, mas para o termo ln ⁡ 1 - x 2 ser definido, o argumento dentro do l n tem que ser maior que 0 .

1 - x 2 > 0

x 2 < 1

x < 1

Então o domínio da função f é dado por

D o m f x = x ∈ R x < 1

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

f ' x = 2 x ln ⁡ 1 - x 2 - 2 x 3 1 - x 2

D o m f x = x ∈ R x < 1

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Calcule f^' (x) .f (x) = 5^2
Calcule f^' (x) .f (x) = 2^x
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f x = ln ⁡ x no ponto de abscissa 1 . Esboce os gráficos de f e da reta tangente.
Calcule g^' (x) g (x) = log_3 x
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f x = e x no ponto de abscissa 0 .