Diferencie a função dada

F(x) = ln(raiz((2x + 1) / (x - 3)))

Passo 1

Vamos lembrar algumas propriedades :

Derivadas :

d d x   f   o   g a x = f ' g a x .   g ' a x .   a   ;   Sendo “a” uma constante.

d d x   x n = n   x n - 1  

d d x   a f ( x ) = l n a   .   a f ( x ) .   d d x f ( x )  

d d x   f x .   g x = f ' g + g ' f   R e g r a   d a   C a d e i a

d d x ln ⁡ f ( x ) = 1 f ( x )   .   f ' x  

Expoente e Logaritmos

a b = e b ln ⁡ a

L n ( A / B )   =   L N   A   –   L N   B  

Passo 2

Usando o que sabemos de logaritmo, podemos facilitar nossa conta fazendo :

d d x   l n   2 x + 1 x - 3     = d d x ( ln ⁡ 2 x + 1 - ln ⁡ x - 3   )    

Temos uma subtração de funções, então podemos derivar uma de cada vez.

d d x ( ln ⁡ 2 x + 1 - ln ⁡ x - 3   )     =   d d x ( ln ⁡ 2 x + 1 ) - d d x ln ⁡ ( x - 3   )    

Usando o que sabemos de derivadas de logaritmos podemos escrever que :

= 1 2 x + 1   . ( 2 x + 1 ) '     - 1 x - 3 .   x - 3   '

=   1 2 x + 1 .   2 2 2 x + 1   - 1 x - 3   .   1 2   x - 3

=   1 2 x + 1 - 1 2 x - 3

Depois de agrupar as frações temos :

=   - 7 2 x - 3 2 x + 1

Resposta

d d x l n 2 x + 1 x - 3   = - 7 2 x - 3 2 x + 1

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