Enunciado

Disseram-lhe que existe uma função f cujas derivadas parciais são f x x ,   y = x + 4 y e f y x ,   y = 3 x - y . Você deve acreditar nisso?

Passo 1

Então pessoal, o que nos foi dado são derivadas parciais de primeira ordem, não é mesmo? Uma estratégia extremamente interessante para resolvermos esse problema é derivarmos uma segunda vez para podermos utilizar o Teorema de Clairaut. Antes de falarmos do Teorema, vamos realizar as derivadas, tudo bem? Temos que:

f x x ,   y = x + 4 y

Agora derivando em relação à y , teremos:

f x y x ,   y = 4

Para a outra derivada, temos que:

f y x ,   y = 3 x - y

Agora derivando em relação à x , teremos:

f y x x ,   y = 3

Passo 2

Tudo bem, determinamos as derivadas de segunda ordem. O Teorema de Clairaut, assim como discutido na seção 14.3 do Stewart, diz que se duas funções forem contínuas, então:

f x y = f y x

No entanto, para as derivadas que descobrimos, temos que:

f x y ≠ f y x

Uma vez que:

4 ≠ 3

Sendo assim, podemos concluir que não tem como existir uma função f que possui essas derivadas parciais.

Resposta

Não existe uma função f com tais derivadas parciais.

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