Enunciado

1-6. Use a Regra da Cadeia para achar (d z)/(d t) ou (d w)/(d t) .

1. z = x y^3 - x^2 y , x = t^2 + 1 , y = t^2 - 1

Passo 1

Para encontrarmos (d z)/(d t) , de acordo com a seção 14.5 do Stewart, temos que utilizar a regra da cadeia no seguinte formato:

(d z)/(d t) = (del z)/(del x) (d x)/(d t) + (del z)/(del y) (d y)/(d t)

Derivando, teremos:

(del z)/(del x) = (y^3 - 2 x y)

(d x)/(d t) = 2 t

(del z)/(del y) = (3 x y^2 - x^2)

(d y)/(d t) = 2 t

Passo 2

Agora que achamos todas as derivadas que queríamos, substituindo os resultados na regra da cadeia, obteremos:

(d z)/(d t) = (y^3 - 2 x y) . 2 t + (3 x y^2 - x^2) . 2 t

:. (d z)/(d t) = 2 t [y^3 - 2 x y + 3 x y^2 - x^2]

Resposta

(d z)/(d t) = 2 t [y^3 - 2 x y + 3 x y^2 - x^2]

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