Enunciado

  1. Quantas soluções a equação s e n   ( 3 x )   =   0,99   -   x 2 possui?
  2. Use o método de Newton para determiná-las.

Passo 1

Usaremos o método de Newton que nos diz que

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

Para obtermos aproximações para as raízes da equação dada.

Passo 2

Plotando e equação obtemos o seguinte gráfico

Aparentemente temos duas raízes, no entanto, dando um zoom nas proximidades de 1.2 vemos que o gráfico não toca o eixo   x .Portanto, temos duas raízes.

Passo 3

Para estimar onde estão essas raízes utilizaremos os pontos iniciais x 0 = - 1 e x 0 = 0.4 que são próximos das raízes pelo gráfico. Primeiramente vamos derivar a função para podermos aplicar a fórmula do método de Newton.

f x = s e n   3 x - 0.99 + x 2 → f ' x = 3 cos ⁡ 3 x + 2 x

Assim ficaremos com

x n + 1 = x n - s e n   3 x n - 0.99 + x n 2 3 cos ⁡ 3 x n + 2 x n

Substituindo os valores de x 0 na fórmula acima, lembrando-se que cada valor de x 0 nos fornecerá uma aproximação pra raiz obteremos as seguintes aproximações : 0.35003501   e - 1.02617316 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja f x = 3 x - x 3 . Mostre que a equação f x = - 4 tem uma solução no intervalo [2,3] e use o método de Newton para determiná-la.
Deduza o método de Newton a partir de sua interpretação geométrica.
Aplique o método de Newton-Raphson à equação: x 3 - 2 x 2 - 3 x + 10 = 0 com x 0 = 1.9 . Justifique o que acontece.
Encontre uma raiz da equação: p ( x ) = x 4 - 6 x 3 + 10 x 2 - 6 x + 9 = 0 , aplicando o método de Newton para polinômios.
Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equações a seguir com precisão ϵ = 1 0 - 4 x 2 - t g ( x ) = 0 2 c o s ( x ) = e x 2 x 5 - 6 = 0