Enunciado

Distância mínima de uma reta a uma parábola no plano xy

Minimizando a função ƒ(x, y, u, y) = (x – u)2 + (y – y)2 sujeita

às condições y = x + 1 e u = v2, encontre a distância mínima no

plano xy entre a reta y = x + 1 e a parábola y2 = x.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Vamos continuar com os exercícios adicionais avançados? Acompanhe!Através da minimização da função f ( x , y , u , v ) = ( x - u ) 2 + ( y - v ) 2 sujeito às restrições y = x + 1 e v 2 = u , devemos encontrar a distância mínima no plano x y da reta y = x + 1 até a parábola y 2 = x

Passo 2

Temos por Lagrange que:

2 ( x - u ) = - λ 2 ( y - v ) = λ   - 2 ( x - u ) = μ

que nos leva a:

  - 2 ( y - v ) = - 2 μ v x - u = v - y x - u = - μ 2 E y - v = μ v x - u = - μ v = - μ 2

Assim

v = 1 2  ou  μ = 0 .

Como obtemos dois resultados, precisamos usar os valores em separado para seguir com a resolução. Vamos lá?Se μ = 0 , então:

x = u , y = v  e  λ = 0 ,

Passo 3

Assim:

y = x + 1  valerá  v = u + 1 e

v 2 = u  valerá  v = v 2 + 1

Resolvendo a equação temos:

v 2 - v + 1 = 0 v = 1 ± 1 - 4 2

que não possui solução real.Para v = 1 2 e u = v 2 teremos:

u = 1 4

E também:

x - 1 4 = 1 2 - y  e  y = x + 1

Usando y em x nas equações temos:

x - 1 4 = - x - 1 2 2 x = - 1 4 x = - 1 8  levando a  y = 7 8

Passo 4

Então:

f - 1 8 , 7 8 , 1 4 , 1 2 = - 1 8 - 1 4 2 + 7 8 - 1 2 2 f - 1 8 , 7 8 , 1 4 , 1 2 = 2 3 8 2

Temos então que a distância mínima é 3 8 2 . Note que a função não possui valores máximos.

Resposta

Resposta nos passos.

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