Enunciado

Em que pontos ( x ,   y ) no plano as funções nos Exercícios 31-34 são contínuas?

  1. f x ,   y = sen ⁡ x + y
  2. f x ,   y = ln ⁡ x 2 + y 2

Passo 1

Oi galerinha, vem comigo!

Assim como para funções de uma variável, a continuidade é definida em termos de limites. Uma função f x ,   y é contínua no ponto x 0 ,   y 0 se:

  1. f for definida em x 0 ,   y 0 ;
  2. lim x ,  y → x 0 ,   y 0 ⁡ f x ,   y existe;
  3. lim x ,  y → x 0 ,   y 0 ⁡ f x ,   y = f x 0 ,   y 0 .

Uma função é contínua se for contínua em todos os pontos de seu domínio.

Passo 2

Então, no item a., temos a seguinte função:

f x ,   y = sen ⁡ x + y

Sabemos que a função g x ,   y = x + y é contínua em qualquer ponto. E a função h t = sen ⁡ t , também é contínua em qualquer ponto. Sendo assim, a função:

h g x ,   y = sen ⁡ x + y = f x ,   y

é contínua em qualquer ponto.

Passo 3

Já para o item b., temos:

f x ,   y = ln ⁡ x 2 + y 2

A função g t = ln ⁡ t , o valor de t > 0 , e como sabemos que qualquer valor ao quadrado será positivo. então a função é contínua para qualquer valor de x ,   y , exceto 0 ,   0 .

Tchau galerinha.

Resposta

  1. Todo x ,   y .
  2. Todo x ,   y , exceto 0 ,   0 .

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