22. ∫ e a x + e - a x 2 d x

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular a integral abaixo, usando método da substituição:

∫ e a x + e - a x 2 d x    

Temos que: e a x + e - a x = 2 c o s h ⁡ ( a x )

Portanto:

∫ 2 cosh ⁡ a x 2 d x  

= ∫ 4 cosh 2 ⁡ x a d x = 4 ∫ cosh 2 ⁡ x a d x

Fazendo – se

u = x a

d u = a   d x

Teremos:

4 ∫ cosh 2 ⁡ u a d u = 4 a ∫ cosh 2 ⁡ a   d u  

Temos que: cosh 2 ⁡ x = 1 + cosh ⁡ 2 x 2

Portanto:

4 a ∫ 1 + cosh ⁡ 2 u 2

Passo 2

Simplificando temos:

2 a ∫ 1 + cosh ⁡ 2 u d u  

= 2 a u + 1 2 s e n h 2 u + c

2 u a + 1 a s e n h   2 u + c

Substituindo o u = x a

2 x + 1 a s e n h   2 x a + c

Resposta

2 x + 1 a s e n h   2 x a + c

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