Enunciado

int (d x)/(sqrt(9 x^2 + 12 x + 5 ))

Passo 1

Uma ideia recorrente para resolver esse tipo de questão é completar quadrado no denominador porque assim podemos usar substituições trigonométricas, ou seja, saibam muito bem de cabeça todas as relações trigonométricas.

Passo 2

Vamos, primeiramente, completar o quadrado

9 x^2 + 12 x + 5 = 9 x^2 + 12 x + 4 + 1 = (3 x + 2)^2 + 1

Quando chegamos em expressões desse formato é bom lembrarmos da seguinte relação :

t g^2 theta + 1 = sec^2 theta

Seja

(3 x + 2) = t g theta

Derivando com relação a x a equação acima

(d (3 x + 2))/(d x) = (d ( t g theta ))/(d x) ⟹ se c^2 theta (d theta)/(d x) = 3 ⟹ (1)/(3) se c^2 theta d theta = d x

Substituindo na nossa integral

int (d x)/(sqrt(9 x^2 + 12 x + 5 )) = int (d x)/(sqrt((3 x + 2)^2 + 1 )) = int ((1)/(3) se c^2 theta d theta)/(sqrt((t g theta)^2 + 1 )) = int (1)/(3) s e c theta d theta =

= (1)/(3) int s e c theta d theta = (1)/(3) ln |s e c theta + t g theta|

Passo 3

Retornando para a variável inicial

ln |s e c theta + t g theta| = (1)/(3) ln |3 x + 2 + sqrt((3 x + 2)^2 + 1)|

Resposta

int (d x)/(sqrt(9 x^2 + 12 x + 5 )) = (1)/(3) ln |3 x + 2 + sqrt((3 x + 2)^2 + 1)| + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

62- Suponha que uma partícula, movendo-se ao longo de um eixo, tenha velocidade v t = 25 + 10e - 0,05t pés/s.a)Qual é a distância percorrida pela partícula em t = 0 até t = 10 ?b)O termo 10e - 0,05t a
63-a) A tabela abaixo mostra a fração da Lua (como vista da Terra) que está iluminada pelo Sol à meia-noite (no horário de Nova York) durante a primeira semana de 2005. Encontre a fração média da Lua
53-a) Encontre ∫ 0 1 f 3 x + 1d x se ∫ 1 4 f x d x = 5 b) Encontre ∫ 0 3 f 3 xd x se ∫ 0 9 f x d x = 5 c) Encontre ∫ - 2 0 xf ( x 2 )d x se ∫ 0 4 f x d x = 1
56- Dado que n é um número inteiro positivo, calcule a integral ∫ 0 1 x1 - x n d x
54- Dado que m e n são inteiros positivos, mostre que: ∫ 0 1 x m 1 - x n d x =∫ 0 1 x n 1 - x m d x Fazendo uma substituição. Não tente calcular as integrais.