∫ d x 9 x 2 + 12 x + 5  

Passo 1

Uma ideia recorrente para resolver esse tipo de questão é completar quadrado no denominador porque assim podemos usar substituições trigonométricas, ou seja, saibam muito bem de cabeça todas as relações trigonométricas.

Passo 2

Vamos, primeiramente, completar o quadrado

9 x 2 + 12 x + 5 =   9 x 2 + 12 x + 4 + 1 = 3 x + 2 2 + 1    

Quando chegamos em expressões desse formato é bom lembrarmos da seguinte relação :

t g 2 θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

Seja

3 x + 2 = t g θ

Derivando com relação a x a equação acima

d 3 x + 2 d x = d ( t g θ ) d x ⟹ se c 2 θ ⁡ d θ d x = 3 ⟹ 1 3 se c 2 θ ⁡ d θ = d x

Substituindo na nossa integral

∫ d x 9 x 2 + 12 x + 5   =   ∫ d x 3 x + 2 2 + 1       = ∫ 1 3 se c 2 θ ⁡ d θ t g θ 2 + 1       = ∫ 1 3 s e c θ d θ =

= 1 3 ∫ s e c θ d θ = 1 3 ln ⁡ s e c   θ + t g   θ  

Passo 3

Retornando para a variável inicial

ln ⁡ s e c   θ + t g   θ   = ⁡ 1 3 ln ⁡ 3 x + 2 + 3 x + 2 2 + 1

Resposta

∫ d x 9 x 2 + 12 x + 5   = 1 3 ln ⁡ 3 x + 2 + 3 x + 2 2 + 1 + C

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