Enunciado

Divida um segmento de 10 cm de comprimento em duas partes, de modo que a soma dos quadrados dos comprimentos seja mínima.

Passo 1

Vamos supor que as duas partes sejam x e y , assim temos:

x + y = 10

Como cada parte formará um quadrado e a área do quadrado é dada por A = l 2 (onde l é o lado do quadrado), a soma dos quadrados dos comprimentos é dada pela fórmula:

S = x 2 + y 2

Vamos então isolar o y da primeira expressão que achamos,

y = 10 - x

E agora substituir na fórmula da soma dos quadrados:

S = x 2 + 10 - x 2

S = 2 x 2 - 20 x + 100

Agora que achamos a fórmula da soma, vemos que ela é descrita por um polinômio de segundo grau, então vamos achar o mínimo da função.

Passo 2

O gráfico de S = 2 x 2 - 20 x + 100 é uma parábola com concavidade voltada para cima, vamos achar a coordenada x do vértice da parábola, pois nele temos o valor mínimo.

A coordenada é dada pela fórmula:

x v = - b 2 a

Temos que:

a = 2 e b = - 20

Substituindo ficamos com:

x v = - b 2 a = - - 20 2 ∙ 2 = 5

Passo 3

Substituindo de volta na fórmula dos segmentos para achar o y :

y = 10 - x = 10 - 5 = 5

Temos então que os segmentos são 5 e 5 , assim devemos dividir os segmentos no meio, em partes iguais de 5 .

Resposta

Dividir os segmentos no meio, em partes iguais de 5 .

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