Enunciado

Dizemos que A ⊆ R 2 é um conjunto limitado se existe um m tal que ( x , y ) ≤ m ,   ∀ x , y ∈ A . Prove que se A for limitado e se A contiver um número infinito de pontos, A admitirá pelo menos um ponto de acumulação. A afirmação é continua verdadeira se uma das hipóteses for omitida?

Passo 1

Vamos precisar de alguns resultados de teoria de conjuntos, tá?. Qualquer coisa, dá uma pesquisadinha.

Vamos lá.

Resposta

Sendo A infinito, então existe um subconjunto X ⊂ A infinito e enumerável X = { x 1 , x 2 ,   ⋯ ,   x n ,   ⋯ }. Assim, tomando a sequencia x k ⊂ X é limitada, pois X ⊂ A é limitado

Suponha x k ≠ x l ,   ∀   k ,   l ∈ N (podemos fazer isso, pois o conjunto é infinito).

Como x k é limitada, pelo Teorema de Weirestrass, existe uma subsequência x k i   de x k convergente, suponha para a . Sendo os termos as sequência dois a dois distintos, no máximo um deles é a . Eliminando-o, se necessário, obtemos uma sequência de pontos de X , todos diferentes de a , com limite a .

Ou seja, para todo ϵ > 0 existe n 0 ∈ N tal que

x n ∈ B a ; ϵ - { a }

Isto é,

B a ; ϵ - a ∩ X ≠ ∅

Portanto a é ponto de acumulação.

Aqui a = ( a 1 ,   a 2 ) , x i = ( x i i ,   x i + 1   ) e x n = x k 1   , x k 2 . (pontos de R 2 )

Se retiramos a limitação, não conseguiremos garantir que dada uma sequencia, ela convergirá, o que nos tira a possibilidade da limitação, um exemplo de conjunto infinito que não ponto de acumulação é o conjunto dos números naturais. Esse tornássemos o conjunto finito, nem sempre funcionaria, por exemplo o conjunto formado por { 0,0 } é finito e não possui pontos de acumulação.

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