Enunciado

Dizemos que ( x 0 , y 0 ) é um ponto crítico do estacionário de z = f ( x , y ) se ∂ f ∂ x x 0 , y 0 = ∂ f ∂ y x 0 , y 0 = 0 . Determine (caso existam) os pontos críticos da função

f x , y = x 3 + y 3 - 3 x - 3 y

Passo 1

O enunciado nos dá uma função de duas variáveis e nos pede para determinar os pontos críticos da mesma, ou seja, os pontos x 0 , y 0 onde esta função fornece ∂ f ∂ x = ∂ f ∂ y = 0 .

Vamos lá calcular!

Passo 2

Temos f x , y = x 3 + y 3 - 3 x - 3 y . Assim, calculando as derivadas parciais e forçando ∂ f ∂ x = ∂ f ∂ y = 0 , obtemos o sistema

∂ ∂ x f x , y = 3 x 2 - 3 = 0 ∂ ∂ y f x , y = 3 y 2 - 3 = 0

Complicou um pouco mais agora! Note que temos duas raízes para x e duas para y :

x 0 = ± 1 y 0 = ± 1

Como proceder neste caso? Bem, devemos reconhecer que cada combinação das raízes é válida, assim temos um total de 4 combinações possíveis: 1,1 , 1 , - 1 , - 1,1 e - 1 , - 1 .

Resposta

1,1 , 1 , - 1 , - 1,1 e - 1 , - 1

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Seja f : R 2 → R e suponha que ∂ f ∂ x x , y = ∂ f ∂ y x , y = 0 para todo ( x , y ) ∈ R 2 . Prove que f é constante.
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