Seja F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j um campo de forças, com P, Q s funções definidas num aberto A ⊂ R^2 Seja gamma(t) = (x(t), y(t), t) t ∈ [a, b] , uma curva de classe C^1 , com gamma(a) = gamma(b) (gamma é uma curva fechada ). Suponha que, para todo t ∈ [a, b] , gamma(t) ∈ A. Prove que se F vetor for conservativo, então

∫ a b   F y t ⋅ y ' t d t = 0

Passo 1

Vamos lá! Antes de iniciar, digo que a questão ta meio estranha pois aparece uma paarmetrização y sobre a qual não foi dito nada, acdredito que seja γ   para a gente poer usar as hipóteses. Então, vamos provar

∫ a b   F γ t ⋅ γ ' t d t = 0

Resposta

Olhando para a integral, isso me dá a ideia de uma técnica de integração que é bastante usual: SUBSTITUIÇÃ O!

E é isso que vamos usar! (olhe bem se já não tá com a carinha ...

Vamos chamar

u = γ t ⟹   d u = γ ' t

Nossos limites de integração vão ficar:

t = b     ⟹   u = γ b

t = a     ⟹   u = γ a

Dai, a nossa integral fica

∫ a b   F γ t ⋅ γ ' t d t   = ∫ y a   γ b   F u d u    

Como F é conservativo

∫ b a   φ ' ( u ) d u   =   φ u ​ y a y b =   φ y b -   φ y a   = 0  

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