Enunciado

Seja F → x , y = P x , y i → + Q x , y j →     um campo de forças, com P , Q s funções definidas num aberto A ⊂   R 2 . Seja γ t = ( x t , y t ,   t ∈ [ a , b ] , uma curva de classe C 1 , com γ a = γ ( b ) ( γ é uma curva fechada ). Suponha que, para todo t ∈ [ a , b ] , γ t ∈ A . Prove que se F →   for conservativo, então

∫ a b   F y t ⋅ y ' t d t = 0

Passo 1

Vamos lá! Antes de iniciar, digo que a questão ta meio estranha pois aparece uma paarmetrização y sobre a qual não foi dito nada, acdredito que seja γ   para a gente poer usar as hipóteses. Então, vamos provar

∫ a b   F γ t ⋅ γ ' t d t = 0

Resposta

Olhando para a integral, isso me dá a ideia de uma técnica de integração que é bastante usual: SUBSTITUIÇÃ O!

E é isso que vamos usar! (olhe bem se já não tá com a carinha ...

Vamos chamar

u = γ t ⟹   d u = γ ' t

Nossos limites de integração vão ficar:

t = b     ⟹   u = γ b

t = a     ⟹   u = γ a

Dai, a nossa integral fica

∫ a b   F γ t ⋅ γ ' t d t   = ∫ y a   γ b   F u d u    

Como F é conservativo

∫ b a   φ ' ( u ) d u   =   φ u ​ y a y b =   φ y b -   φ y a   = 0  

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