Enunciado

A equação diferencial não linear:

d r d t 2 = 2 μ r + 2 h

Em que μ e h são constantes não negativas, aparece no estudo do problema de dois corpos em mecânica celeste. Aqui, a variável r representa a distância entre as duas massas. Resolva a equação nos dois casos: h = 0 e h > 0 .

Passo 1

Então galera, a equação que nos foi dada é essa aqui:;

d r d t 2 = 2 μ r + 2 h

A questão quer a resolução dessa equação diferencial para h = 0 e para h > 0 . Para h = 0 , temos:

d r d t 2 = 2 μ r

r d r = 2 μ d t

E então é só integrarmos!

Passo 2

Integrando ambos os lados:

∫ r 1 2 d r = 2 μ ∫ d t

Que nos dá como resultado:

2 3 r 3 2 = 2 μ t + c

Show!

Passo 3

Agora para h > 0 temos:

r 1 2 2 μ + 2 h r d r = d t

Se integrarmos ambos os lados, teremos:

∫ r 1 2 2 μ + 2 h r d r = ∫ d t

1 2 ∫ r 1 2 μ + h r 1 2 = ∫ d t

E isso nos dá como resultado:

1 2 h 2 μ r + 2 h r 2 1 2 - 2 μ 2 h 3 2 . ln ⁡ μ + h r + h r = t + c

E está aí nossa resolução, galera! 😉

Resposta

Para h = 0 , temos que: 2 3 r 3 2 = 2 μ t + c

Para h > 0 , temos que: 1 2 h 2 μ r + 2 h r 2 1 2 - 2 μ 2 h 3 2 . ln ⁡ μ + h r + h r = t + c

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