Enunciado

Dois lados de um triângulo medem a e b , e o ângulo entre eles é de θ . Qual é o valor de θ que maximizará a área do triângulo.

Dica: A = 1 2 a b sen ⁡ θ

Passo 1

Vamos usar a dica que ele deu para achar a área:

A = 1 2 a b sen ⁡ θ

Não tem problema mantermos o a e b , porque nossa variável é o θ .

Como ele é um ângulo interno de um triângulo, vamos ter:

0 < θ < π

Passo 2

Para acharmos o valor de mínimo ou máximo, temos que comparar o valor da função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo.

Começando por achar os pontos críticos:

A ' = 1 2 a b cos ⁡ θ

Fazendo isso igual a 0

1 2 a b cos ⁡ θ = 0

Vamos ter:

cos ⁡ θ = 0

No intervalo que ele deu, temos um valor com cosseno negativo

θ = π 2

Passo 3

Vamos achar o valor da função nos pontos críticos e extremos do intervalo:

A = 1 2 a b sen ⁡ θ

Vamos ter:

θ = 0 → A = 1 2 a b sen ⁡ 0 = 0

θ = π 2 → A = 1 2 a b sen ⁡ π 2 = 1 2 a b

θ = π → A = 1 2 a b sen ⁡ π = 0

O maior dos 3 valores é quando θ = π 2

Resposta

π 2

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