Enunciado

47. Distância entre dois navios. Ao meio-dia, o navio A estava a 12 milhas náuticas ao norte do navio B . O navio A navegava para o sul a 12 nós (milhas náuticas por hora; uma milha náutica equivale a 2000 jardas) e continuou nesse sentido durante todo o dia. O navio B navegava para leste a 8 nós e continuou nesse sentido durante todo o dia.

a. Comece com t = 0 ao meio-dia e expresse a distância s entre os navios em função de t .

b. Qual a velocidade de mudança da distância entre os navios ao meio-dia? E uma hora mais tarde?

c. A visibilidade desse dia era de 5 de milhas náuticas. Será que os navios podiam avistar um ao outro?

d. Esboce s e d s d t em um único gráfico como funções de t para - 1 ≤ t ≤ 3 , usando cores diferentes, se possível. Compare os gráficos e relacione o que você vê com suas respostas nos itens (b) e (c).

e. Parece que o gráfico de d s d t poderia apresentar uma assíntota horizontal no primeiro quadrante. Isso, por sua vez, sugere que d s d t   se aproxima de um valor limite, quando t → ∞ . Qual é esse valor? Qual a sua relação com a velocidade individual dos navios?

Passo 1

a) Então galera, se escrevermos uma expressão de espaço para cada um dos navios, teremos o seguinte:

S A = S 0 + v . t

S A = 12 - 12 t

Note que o sinal de negativo aparece porque ele está viajando para o Sul (eixo negativo de y ).

S B = S 0 + v . t

S B = 8 t

Utilizando o teorema de Pitágoras, teremos:

S A B = 12 - 12 t 2 + 8 t 2

∴ S A B = 12 - 12 t 2 + 64 t ²

Passo 2

b) Para descobrirmos a velocidade de mudança de distância entre os navios, basta pegarmos a equação que achamos no passo 1 e deriva-la, uma vez que a derivada do espaço nos fornece a velocidade! Sendo assim, teremos:

d S A B d t = v A B = 1 2 . 12 - 12 t 2 + 64 t 2 - 1 2 . 2 . 12 - 12 t . - 12 + 128 t

Aqui vale ressaltar que a regra utilizada para a derivação foi a regra da cadeia, tudo bem? Continuando, teremos:

v A B = 208 t - 144 12 - 12 t 2 + 64 t 2

Para meio dia, isto é, t = 0 , temos:

v A B 0 = - 144 12 = - 12   n ó s

Para uma hora depois, temos:

v A B 1 = 64 8 = 8   n ó s

Passo 3

c) Se plotarmos o gráfico de S A B , teremos o seguinte:

Note que o gráfico não toca em S t = 5 , o que nos leva a concluir que eles não se veriam!

Passo 4

d) Se plotarmos os gráficos de S e d S d t , teremos o seguinte:

No qual a função em verde é S e a função em azul é d s d t .

Passo 5

e) Aplicando o limite de t → ∞ na equação de v A B , teremos:

lim   t → ∞ ⁡ 208 t - 144 12 - 12 t 2 + 64 t 2

Para facilitar nossa vida, vamos escrever essa raíz em todos os termos da razão, se liga:

l i m   t → ∞ 208 t - 144 2 12 - 12 t 2 + 64 t 2

Se dividirmos todos os termos dentro da raíz por t ² , teremos o seguinte:

l i m   t → ∞ 208 - 144 t 2 12 t - 12 2 + 64

Aplicando o limite, teremos:

208 2 - 12 2 + 64 = 208 144 + 64 = 4 13

A relação desse resultado com as velocidades individuais dos navios é que esse resultado é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados das velocidades individuais!

Resposta

a) S A B = 12 - 12 t 2 + 64 t ²

b) v A B 0 = - 144 12 = - 12   n ó s

v A B 1 = 64 8 = 8   n ó s

c) Eles não se veriam!

d)

e) lim   t → ∞ ⁡ 208 t - 144 12 - 12 t 2 + 64 t 2 = 4 13

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