Enunciado

Viga mais curta. O muro de 8 pés mostrado na figura a seguir está a 27 pés do edifício. Determine o comprimento da viga mais curta que alcançará o edifício, apoiado no solo do lado de fora do muro.

Passo 1

Inicialmente, se representarmos essa situação geometricamente, teremos algo desse tipo, galera:

No qual L ( x ) é exatamente o tamanho mínimo da viga que queremos descobrir. É nítido que temos um triângulo retângulo, certo? Dessa forma, podemos utilizar semelhança de triângulo para determinar h , se liga:

8 x = h 27 + x

Isolando h , teremos:

h = 8 + 216 x

Passo 2

Para descobrirmos L ( x ) , podemos utilizar o teorema de Pitágoras, não é mesmo? Dessa forma, teremos:

L x 2 = h 2 + ( x + 27 ) ²

Substituindo o h que descobrimos:

L x = 8 + 216 x 2 + ( x + 27 ) ²

Para descobrirmos o tamanho MÍNIMO da viga, devemos utilizar o conceito de máximos e mínimos, galera! Esse conceito nos diz que temos que derivar a função em questão e igualar a mesma a zero. Se fizermos isso, teremos:

L ' x = 1 2 . 8 + 216 x 2 + x + 27 2 - 1 2 . 2 . 8 + 216 x . - 216 x 2 + 2 . x + 27 = 0

Aqui vale ressaltar que derivamos utilizando a regra da cadeia, tudo bem? Caso não esteja claro, dê uma relembrada lá nas seções anteriores sobre técnicas de derivação, beleza? Continuando, teremos:

L ' x = 2 . 8 + 216 x . - 216 x 2 + 2 . x + 27 = 0

Fazendo a distributiva e simplificando:

x + 27 . 1 - 1728 x ³ = 0

Passo 3

Agora que chegamos em uma expressão em forma de produto, fica mais tranquilo de resolvermos, não é mesmo? Para o produto que encontramos no passo anterior dar zero, galera, ou x = - 27 (o que não é possível para nós) ou:

1 - 1728 x 3 = 0

x 3 = 1728

∴ x = 12

Agora que descobrimos o valor de x que minimiza o tamanho da viga, basta substituirmos lá na expressão original L ( x ) para descobrirmos, de fato, quanto será o tamanho da mesma, se liga:

L x = 8 + 216 x 2 + ( x + 27 ) ²

L 12 = 8 + 216 12 2 + ( 12 + 27 ) ²

L 12 = 2197

∴ L 12 ≅ 46.87   p é s

Resposta

L 12 ≅ 46.87   p é s

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