Calcule.

∫ cos ⁡ x 4 - sen 2 ⁡ x d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = sen ⁡ x

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = cos ⁡ x d x

Vamos agora fazer a substituição:

∫ cos ⁡ x 4 - sen 2 ⁡ x d x = ∫ 1 4 - u 2 d u

Agora vamos fazer outra substituição, vamos lá:

u = 2 v

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 2 d v

Vamos agora fazer a substituição:

∫ 1 4 - u 2 d u = ∫ 2 4 - 2 v 2 d v = ∫ 2 4 - 4 v 2 d v = ∫ 2 4 1 - v 2 d v = 1 2 ∫ 1 1 - v 2 d v

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais.

1 2 ∫ 1 1 - v 2 d v = 1 2 ∫ 1 1 - v 1 + v d v

Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

1 1 - v 1 + v = A 1 - v + B 1 + v

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores 1 - v 1 + v :

1 = A 1 + v + B 1 - v

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

1 = A 1 + v + B 1 - v

1 = A + A v + B - B v

1 = v A - B + A + B

Passo 3

Temos uma igualdade de polinômios, então vamos igualar os coeficientes de v de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A - B = 0 A + B = 1 → A = B = 1 2 B + B = 1 → B = 1 2

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

1 2 ∫ 1 1 - v 1 + v d v = 1 2 ∫ 1 2 1 - v + 1 2 1 + v d v =

= 1 2 ∫ 1 2 1 - v + 1 2 1 + v d v = 1 4 ∫ 1 1 - v d v + 1 4 ∫ 1 1 + v d v

Pronto, agora vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 4

Com a primeira vamos usar a Regra da Substituição:

t = 1 - v

Vamos agora achar diferencial de t , derivando:

d t = - d v

Fazendo a substituição ficamos com:

1 4 ∫ 1 1 - v d v = 1 4 ∫ - 1 t d t

Vamos usar essa expressão para achar as primitivas da função:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

1 4 ∫ - 1 t d t = - 1 4 ∫ 1 t d t = - 1 4 ln ⁡ t + C

Passo 5

Com a segunda vamos usar a Regra da Substituição:

r = 1 + v

Vamos agora achar diferencial de r , derivando:

d r = d v

Fazendo a substituição ficamos com:

1 4 ∫ 1 1 + v d v = 1 4 ∫ 1 r d r

Vamos usar essa expressão para achar as primitivas da função:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

1 4 ∫ 1 r d r = 1 4 ∫ 1 r d r = 1 4 ln ⁡ r + C

Passo 6

Agora é só juntar tudo:

1 4 ∫ 1 1 - v d v + 1 4 ∫ 1 1 + v d v = - 1 4 ln ⁡ t + 1 4 ln ⁡ r + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

1 4 ∫ 1 1 - v d v + 1 4 ∫ 1 1 + v d v = - 1 4 ln ⁡ t + 1 4 ln ⁡ r + C = - 1 4 ln ⁡ 1 - v + 1 4 ln ⁡ 1 + v + C = - 1 4 ln ⁡ 1 - u 2 + 1 4 ln ⁡ 1 + u 2 + C = - 1 4 ln ⁡ 1 - sen ⁡ x 2 + 1 4 ln ⁡ 1 + sen ⁡ x 2 + C

Resposta

∫ cos ⁡ x 4 - sen 2 ⁡ x d x = - 1 4 ln ⁡ 1 - sen ⁡ x 2 + 1 4 ln ⁡ 1 + sen ⁡ x 2 + C

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