Enunciado

Calcule.

int (cos x)/(4 - sen^2 x) d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = sen x

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = cos x d x

Vamos agora fazer a substituição:

int (cos x)/(4 - sen^2 x) d x = int (1)/(4 - u^2) d u

Agora vamos fazer outra substituição, vamos lá:

u = 2 v

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 2 d v

Vamos agora fazer a substituição:

int (1)/(4 - u^2) d u = int (2)/(4 - (2 v)^2) d v = int (2)/(4 - 4 v^2) d v = int (2)/(4 (1 - v^2)) d v = (1)/(2) int (1)/(1 - v^2) d v

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais.

(1)/(2) int (1)/(1 - v^2) d v = (1)/(2) int (1)/((1 - v) (1 + v)) d v

Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

(1)/((1 - v) (1 + v)) = (A)/(1 - v) + (B)/(1 + v)

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores (1 - v) (1 + v) :

1 = A (1 + v) + B (1 - v)

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

1 = A (1 + v) + B (1 - v)

1 = A + A v + B - B v

1 = v (A - B) + (A + B)

Passo 3

Temos uma igualdade de polinômios, então vamos igualar os coeficientes de v de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A - B = 0],[A + B = 1]]) -> {[[A = B = (1)/(2)],[B + B = 1 -> B = (1)/(2)]])

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

(1)/(2) int (1)/((1 - v) (1 + v)) d v = (1)/(2) int ((1)/(2))/(1 - v) + ((1)/(2))/(1 + v) d v =

= (1)/(2) int (1)/(2 (1 - v)) + (1)/(2 (1 + v)) d v = (1)/(4) int (1)/(1 - v) d v + (1)/(4) int (1)/(1 + v) d v

Pronto, agora vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 4

Com a primeira vamos usar a Regra da Substituição:

t = 1 - v

Vamos agora achar diferencial de t , derivando:

d t = - d v

Fazendo a substituição ficamos com:

(1)/(4) int (1)/(1 - v) d v = (1)/(4) int - (1)/(t) d t

Vamos usar essa expressão para achar as primitivas da função:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

(1)/(4) int - (1)/(t) d t = - (1)/(4) int (1)/(t) d t = - (1)/(4) ln |t| + C

Passo 5

Com a segunda vamos usar a Regra da Substituição:

r = 1 + v

Vamos agora achar diferencial de r , derivando:

d r = d v

Fazendo a substituição ficamos com:

(1)/(4) int (1)/(1 + v) d v = (1)/(4) int (1)/(r) d r

Vamos usar essa expressão para achar as primitivas da função:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

(1)/(4) int (1)/(r) d r = (1)/(4) int (1)/(r) d r = (1)/(4) ln |r| + C

Passo 6

Agora é só juntar tudo:

(1)/(4) int (1)/(1 - v) d v + (1)/(4) int (1)/(1 + v) d v = - (1)/(4) ln |t| + (1)/(4) ln |r| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

(1)/(4) int (1)/(1 - v) d v + (1)/(4) int (1)/(1 + v) d v = - (1)/(4) ln |t| + (1)/(4) ln |r| + C = - (1)/(4) ln |1 - v| + (1)/(4) ln |1 + v| + C = - (1)/(4) ln |1 - (u)/(2)| + (1)/(4) ln |1 + (u)/(2)| + C = - (1)/(4) ln |1 - (sen x)/(2)| + (1)/(4) ln |1 + (sen x)/(2)| + C

Resposta

int (cos x)/(4 - sen^2 x) d x = - (1)/(4) ln |1 - (sen x)/(2)| + (1)/(4) ln |1 + (sen x)/(2)| + C

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