Dê o domínio e esboce o gráfico de f(x) = raiz(x^2 - 1)

Passo 1

Antes de tudo, vamos dar uma espiadinha na questão anterior.

Lá verificamos que:

1 + x 2 - x = 1 1 + x 2 + x

E chegamos a seguinte conclusão: à medida que | x | vai se tornando cada vez maior, o denominador da fração 1 1 + x 2 + x vai se tornando cada vez maior, e a fração vai se tornando cada vez mais próxima de zero.

Ou seja, à medida que | x | cresce, a diferença 1 + x 2 - x vai se aproximando cada vez mais de zero!

Como 1 + x 2 ≥ | x | , isso significa que à medida que | x | cresce, o gráfico de y = 1 + x 2 vai encostando por cima do gráfico de y = | x | .

Passo 2

Então, fazendo o mesmo raciocício, temos que:

x - x 2 - 1 = 1 x +   x 2 - 1

E daí vamos refazer a análise: à medida que | x | cresce, o gráfico y = x 2 - 1 vai encostando por baixo no gráfico de y = | x | .

E o domínio? Bom, temos que para raiz de índice par, o radicando não pode ser negativo, então:

x 2 - 1 ≥ 0

x 2 ≥ 1

Isso nos dá que x ≥ 1 ou x ≤ - 1 . E o domínio de f pode ser escrito dessa forma:

D f = ] - ∞ ; - 1 ] ∪ [ 1 ; + ∞ [

Passo 3

Vamos ao esboço do gráfico? As raízes da função são onde f x = 0 , então:

x 2 - 1 = 0

x 2 = 1

x = ± 1

Os pontos onde a função corta o eixo dos x é 1,0 e ( - 1,0 ) . Usando um programa de geração gráfica temos:

Resposta

D f = ] - ∞ ; - 1 ] ∪ [ 1 ; + ∞ [

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