Enunciado

Dê o domínio e esboce o gráfico de f (x) = sqrt(x^2 - 1)

Passo 1

Antes de tudo, vamos dar uma espiadinha na questão anterior.

Lá verificamos que:

sqrt(1 + x^2) - |x| = (1)/(sqrt(1 + x^2) + |x|)

E chegamos a seguinte conclusão: à medida que | x | vai se tornando cada vez maior, o denominador da fração (1)/(sqrt(1 + x^2) + |x|) vai se tornando cada vez maior, e a fração vai se tornando cada vez mais próxima de zero.

Ou seja, à medida que | x | cresce, a diferença sqrt(1 + x^2) - |x| vai se aproximando cada vez mais de zero!

Como sqrt(1 + x^2) >= | x | , isso significa que à medida que | x | cresce, o gráfico de y = sqrt(1 + x^2) vai encostando por cima do gráfico de y = | x | .

Passo 2

Então, fazendo o mesmo raciocício, temos que:

|x| - sqrt(x^2 - 1) = (1)/(|x| + sqrt(x^2 - 1))

E daí vamos refazer a análise: à medida que | x | cresce, o gráfico y = sqrt(x^2 - 1) vai encostando por baixo no gráfico de y = | x | .

E o domínio? Bom, temos que para raiz de índice par, o radicando não pode ser negativo, então:

x^2 - 1 >= 0

x^2 >= 1

Isso nos dá que x >= 1 ou x <= - 1 . E o domínio de f pode ser escrito dessa forma:

D (f) = ] - oo ; - 1 ] uu [ 1 ; + oo [

Passo 3

Vamos ao esboço do gráfico? As raízes da função são onde f (x) = 0 , então:

sqrt(x^2 - 1) = 0

x^2 = 1

x = +- 1

Os pontos onde a função corta o eixo dos x é (1,0) e ( - 1,0 ) . Usando um programa de geração gráfica temos:

Resposta

D (f) = ] - oo ; - 1 ] uu [ 1 ; + oo [

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