Enunciado

Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço do seu gráfico.

F x = x 2 - 1

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Ó só, nossa função é essa:

F x = x 2 - 1

Pô, mas não é que ela parece muito com:

F x = a x 2 + b x + c

Se parece um pato e faz quack como um pato, é um pato! Nossa F x nada mais é do que um polinômio de grau 2 onde:

a = 1 b = 0 c = - 1

E só isso já nos diz muito dessa função: sabemos que o gráfico dela é uma parábola e que seu domínio é todo o conjunto dos reais! Mas e sua imagem, qual será? Bem, sabemos que qualquer número ao quadrado é maior ou igual a 0 :

x 2 ≥ 0

Para qualquer valor de x , vamos subtrair 1 em ambos os lados da equação agora:

x 2 - 1 ≥ - 1

Ou seja:

F x ≥ - 1

Em outras palavras, F x aceita qualquer x real, mas retorna sempre um número maior ou igual a - 1 . Seu domínio e imagem serão:

D o m í n i o :   - ∞ , + ∞

I m a g e m :   [ - 1 ,   + ∞ )

Passo 2

Bora pro esboço agora. Para fazer um esboço singelo de uma parábola, precisamos de dois parâmetros: o sinal do termo quadrático (se a é positivo ou negativo) e o valor mínimo da imagem. Como vimos no passo anterior, nossa função é tal que:

F x = x 2 - 1

F x = a x 2 + b x + c

a = 1 b = 0 c = - 1

F x ≥ - 1

Sabendo que o sinal de “ a ” dita a orientação da concavidade da parábola de forma que:

  • Se a > 0 , a parábola terá concavidade para cima.
  • Se a < 0 , a parábola terá concavidade para baixo.

Basta pro nosso esboço a gente desenhar uma parábola com concavidade pra cima (já que a = 1 > 0 ) em que a “ponta do copinho” toque o eixo O y em - 1 :

Resposta

D o m í n i o :   - ∞ , + ∞

I m a g e m :   [ - 1 ,   + ∞ )

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