Enunciado

Duas curvas são ortogonais se suas retas tangentes forem perpendiculares em cada ponto de interseção. Mostre que as famílias dadas de curvas são trajetórias ortogonais uma em relação à outra, ou seja, toda curva de uma família é ortogonal a toda curva da outra família. Esboce ambas as famílias de curvas no mesmo sistema de coordenadas.

x 2 + y 2 = r 2

a x + b y = 0

Passo 1

Fala aí, pessoal! 😎

Bom, galera, nesse exercício queremos mostrar que as curvas apresentadas são ortogonais e esboçar graficamente essas curvas.

Para isso, iremos utilizar a derivação implícita e comparar o coeficiente angular das curvas e suas retas tangentes.

Caso o coeficiente angular de uma reta tangente à curva for a recíproca negativa do coeficiente da outra curva, as trajetórias são ortogonais uma em relação a outra.

Veja só! 😁

Passo 2

Vamos utilizar a derivação implícita para encontrar a inclinação da reta tangente a curva

x 2 + y 2 = r 2

2 x + 2 y y ' = 0

Agora, vamos isolar y ' , que é a inclinação da reta tangente a curva que derivamos

2 y y ' = - 2 x

y ' = - x y

Em um ponto arbitrário P =   ( x 0 ,     y 0 ) , a inclinação da reta tangente é

y ' = - x 0   y 0

Passo 3

A curva a x + b y = 0 possui inclinação

m =   y 0 x 0

Da origem até um ponto arbitrário P =   ( x 0 ,     y 0 ) , pois podemos encontrar a inclinação dessa reta utilizando a fórmula

m = ∆ y ∆ x =   y 0 x 0

Como m é a recíproca negativa de y ' , ou seja, é o correspondente em sentido oposto de y ' , então todas as curvas de uma família é ortogonal a família de curvas da outra família.

E aí! O que achou? Responde Aí! 😬

Resposta

Como m é a recíproca negativa de y ' , ou seja, é o correspondente em sentido oposto de y ' , então todas as curvas de uma família são ortogonais a família de curvas da outra

família. Graficamente

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Duas curvas são ortogonais se suas retas tangentes forem perpendiculares em cada ponto de interseção. Mostre que as famílias dadas de curvas são trajetórias ortogonais uma em relação à outra, ou seja,
Encontre as equações de ambas as retas tangentes para a elipse x 2 + 4 y 2 = 36 que passem pelo ponto ( 12 ,3 ) .
Encontre todos os pontos sobre a curva x 2 y 2 + x y = 2 onde a inclinação da reta tangente é - 1 .
A equação x 2 - x y + y 2 = 3 representa uma “elipse girada”, isto é, uma elipse cujos eixos não são paralelos aos eixos coordenados. Encontre os pontos os quais essa elipse cruza o eixo x e mostre qu