Enunciado

Encontre f ' ( x ) . Verifique se sua resposta é razoável comparando os gráficos de f e f ' .

f x = 1 - x 2 a r c s e n   x

Passo 1

Fala a��, pessoal! 😊

Bom, galera, nesse exercício iremos derivar a nossa função f ( x ) em relação a x e iremos traçar o gráfico da função e da sua derivada com o objetivo de verificar se a resposta está correta.

Parece complicado? 👀

Primeiramente, iremos derivar f ( x ) . Veja que f ( x ) é composta pelo produto de duas funções ( 1 - x 2   e   a r c s e n   x ) e que dentro da raiz há uma função de x . Dessa forma, deveremos utilizar a regra do produto de funções, que ocorre da seguinte maneira

f x g x ' = f ' x g x + g ' x f ( x )

E a regra da cadeia, onde após derivar a raiz deveremos derivar a função presente dentro da raiz e multiplicar a derivada pela derivada da raiz.

Veja só! 😉

Passo 2

Derivando f x temos

f ' x = a r c s e n   x 1 2 1 - x 2 - 2 x +   1 - x 2 1 1 - x 2

Veja que fora dos parênteses há a função que não está sendo derivada mas que deve ser multiplicada devido a regra do produto. No segundo parênteses, há a derivada que vem devido a regra da cadeia da raiz. Podemos simplificar a derivada, ficando com

f ' x = - a r c s e n   x x 1 - x 2 +   1

Podemos esboçar o seguinte gráfico

Onde a função verde é f ( x ) e a função vermelha é f ' ( x ) .

E aí! O que achou? Responde Aí! 🤔

Resposta

Podemos concluir que a resposta da derivada é razoável com base no gráfico feito. Podemos concluir isso pois quando f ' x = 0 , o gráfico de f ( x ) possui uma tangente horizontal. Além disso, quando f ( x ) está diminuindo, f ' ( x ) é negativa e quando f ( x ) está aumentando f ' ( x ) é positiva.

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Encontre a derivada. Simplifique quando possível. G x = 1 - cosh ⁡ x 1 + cosh ⁡ x
(a) Se f x = sec ⁡ x - x , encontre f ' ( x ) .(b) Verifique que sua resposta para a parte (a) é razoável fazendo os gráficos de f e f ' para xπ / 2 .
(a) Use a regra do quociente para derivar a função f x = tg ⁡ x - 1 sec ⁡ x (b) Simplifique a expressão para f ( x ) , escrevendo-a em termos de sen ⁡ x e cos ⁡ x , e então encontre f ' ( x ) (c) Most
Suponha que f π 3 = 4 , e f ' π 3 = - 2 , e faça g x = f x sen ⁡ x e h x = cos ⁡ x f x Encontre (a) g ' π 3 e (b) h ' ( π 3 ) .
Se H θ = θ sen ⁡ θ , encontre H ' ( θ ) e H " ( θ ) .