Enunciado

Duas curvas são ortogonais se suas retas tangentes forem perpendiculares em cada ponto de interseção. Mostre que as famílias dadas de curvas são trajetórias ortogonais uma em relação à outra, ou seja, toda curva de uma família é ortogonal a toda curva da outra família. Esboce ambas as famílias de curvas no mesmo sistema de coordenadas.

y = c x 2

x 2 + 2 y 2 = k

Passo 1

Bom galera, nesse exercício queremos mostrar que as curvas apresentadas são ortogonais e esboçar graficamente essas curvas. Para isso, iremos utilizar a derivação implícita e comparar o coeficiente angular das curvas e suas retas tangentes. Caso o coeficiente angular de uma reta tangente à curva for a recíproca negativa do coeficiente da outra curva, as trajetórias são ortogonais uma em relação a outra.

Passo 2

Vamos utilizar a derivação implícita para encontrar a inclinação da reta tangente a curva

y = c x 2

y ' = 2 c x

Em um ponto arbitrário P =   ( x 0 ,     y 0 ) , a inclinação da reta tangente é

y ' = 2 c x 0

Passo 3

Vamos fazer o mesmo para a outra curva para encontrar y '

x 2 + 2 y 2 = k

2 x + 4 y y ' = 0

Agora, vamos isolar y ' , que é a inclinação da reta tangente a curva que derivamos

4 y y ' = - 2 x

y ' = - x 2 y

Como y = c x 2

Podemos substituir em y ' , ficando com

y ' = - x 2 c x 2 = - 1 2 c x

Em um ponto arbitrário P =   ( x 0 ,     y 0 ) , a inclinação da reta tangente é

y ' = - 1 2 c x 0

Resposta

Como o coeficiente angular de uma reta tangente à uma curva é a recíproca negativa da inclinação da reta tangente da outra curva, ou seja, é o correspondente em sentido oposto de y ' , então todas as curvas de uma família é ortogonal a família de curvas da outra família.Graficamente

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Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. x 2 + 2 x y - y 2 + x = 2 , ( 1,2 ) (hipérbole)
Mostre, fazendo a derivação implícita, que a tangente à elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 No ponto ( x 0 ,   y 0 ) é x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1
Mostre que a soma das coordenadas das intersecções com os eixos x e y de qualquer reta tangente à curva x + y = c é igual a c .
Encontre uma equação da reta tangente à hipérbole x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 No ponto ( x 0 ,y 0 ) .
Mostre, usando a derivação implícita, que qualquer reta tangente, em um ponto P , a um círculo com centro O é perpendicular ao raio O P .