Enunciado

Encontre todos os pontos sobre a curva x 2 y 2 + x y = 2 onde a inclinação da reta tangente é - 1 .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar os pontos sobre a curva x 2 y 2 + x y = 2 onde a inclinação da reta tangente é - 1 .

Isso significa que vamos ter que derivar essa equação implicitamente, para encontrar a inclinação da reta tangente y ' . Assim, fazendo y ' = 1 , vamos obter os pontos onde a inclinação da reta é - 1 .

Vamos lá!

Passo 2

Aplicando a derivada nos dois lados da nossa equação, temos:

d d x ( x 2 y 2 + x y ) = d d x ( 2 )

E derivando implicitamente em relação a x :

2 x y 2 + 2 x 2 y y ' + y + x y ' = 0

Isolando y ' , encontramos a inclinação da reta tangente:

y ' = - y + 2 x y 2 2 x 2 y + x

Passo 3

Sabemos que y ' = - 1 . Então, substituindo, temos:

- 1 = - y + 2 x y 2 2 x 2 y + x

2 x 2 y + x = y + 2 x y 2

Tirando y e x em evidencia e colocando os termos do mesmo lado da equação, temos

2 x y + 1 y - x = 0

Pra que esse produto seja verdadeiro, pelo menos um dos termos precisa ser zero. Então, temos 2 x y + 1 = 0 ou y - x = 0 . Do segundo termo, temos:

y = x

E do primeiro termo, ficamos com:

2 x y + 1 = 0

→ x y = - 1 2  

Mas para x y = 1 2 , teríamos na equação x 2 y 2 + x y = 2 um resultado diferente de 2 .

x 2 y 2 + x y = 1 4 - 1 2 ≠ 2

Dessa forma, vamos ficar apenas com o resultado y = x .

Passo 4

Substituindo y = x na equação, temos:

x 2 x 2 + x x - 2 = 0

Resolvendo os produtos, encontramos:

x 4 + x 2 - 2 = 0

Fatorando, vamos ter:

x 2 + 2 x 2 - 1 = 0

Então, resolvendo essa equação para x , vamos ter:

x 2 = - 2

Ou

x 2 = 1

Como não nos interessa a resposta fora dos números reais, podemos desprezar a conclusão x 2 = - 2 , porque isso geraria uma raiz quadrada de número negativo, que só dá ser resolvida usando os números complexos.

Sendo assim, ficamos apenas com a solução x 2 = 1 . E tirando a raiz dos dois lados da equação, temos:

x = ± 1

Então, temos x = 1 e x = - 1 . Mas no passo 3 , nós encontramos y = x . Isso significa que os pontos onde a inclinação da reta tangente a curva é - 1 são:

( 1 ,   1 )

E

- 1 ,   - 1

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

( 1 ,   1 ) e ( - 1 ,   - 1 )

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