Enunciado

Nos Exercícios de 33 a 35, use o conceito de taxa relativa, definido como segue se y = f(x), a

taxa relativa da variação de y com relação a x em x1 é dada por f ' x 1 f x 1 ou, equivalentemente,

dy / dx y calculada em x = x1.

34. Uma empresa inicia seus negócios em 1º de abril de 1987. Os rendimentos anuais brutos da firma após t anos de operação são de p, onde

p = 50000 + 18000 t + 600 t 2

  1. Ache a taxa segundo a qual os rendimentos brutos cresceram em 1º de abril de 1989;
  2. Ache a taxa de crescimento relativo em 1º de abril de 1989, com aproximação de 0,1 por cento.

Passo 1

A função fornecida nada mais é que a função rendimento de uma empresa. Achar a taxa de crescimento desse rendimento nada mais é que achar a função de rendimento marginal, que é só derivar a função dada, e avaliar no instante de tempo que ele deseja.

Achar o crescimento relativo já está fácil de ver como vamos encontrá-lo, basta usar a fórmula fornecida pelo enunciado: f ' x 1 f x 1

Mas uma diferença a ser notada entre a taxa de crescimento relativo e a de crescimento absoluto (uma outra forma de falar o que o item “a” pede) é que a relativo é dada em porcentagem e a absoluto é definida por números.

Por isso a aproximação de 0,1 porcento pedido no enunciado, que nada mais é que uma aproximação até a primeira casa decimal.

Um outro detalhe a ser notado é que a função fornecida pelo enunciado só começa a valer a parti de 1º de abril de 1987, logo até o dia 1º de abril de 1989 só se passaram 2 anos, assim t = 2 será o instante avaliado.

Passo 2

Primeiro vamos derivar a função p para encontrar a função rendimento marginal:

p ( t ) = 50000 + 18000 t + 600 t 2

p ' t = 18000 + 1200 t

Passo 3

Agora substituindo t = 2 na função encontrada, acharemos a taxa de crescimento do rendimento bruto:

p ' t = 18000 + 1200 t

p ' 2 = 18000 + 1200 ( 2 )

                                                = 18000 + 2400 = 20400

Passo 4

Agora para resolver o item “b” vamos calcular somente p(2), já que o p’(2) já foi calculado no item “a”, depois usaremos a fórmula fornecida pelo enunciado:

f ' x 1 f x 1 ⇒ p ' t 1 p t 1

p ' 2 = 20400

p 2 = 50000 + 18000 ( 2 ) + 600 2 2

    = 50000 + 36000 + 600 ( 4 )

= 86000 + 2400 = 88400

Substituindo na fórmula do enunciado:

p ' t 1 p t 1 ⇒ p ' 2 p 2

= 20400 88400 ≈ 0 , 231 ⇒ 23 , 1 %

Resposta

  1. A taxa em que o rendimento bruto estava crescendo em 1º de abril de 1989 era de 20400 ao ano.
  2. A taxa de crescimento relativo em 1º de abril de 1989 é de 23,1%.
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