Enunciado

Se duas resistências com R 1 e R 2   o h m s estão conectadas em paralelo em um circuito elétrico, resultando em uma resistência com R   o h m s , o valor de R sera dado pela equação.

1 R = 1 R 1 + 1 R 2

Se R 1 dimiui a uma taxa de 1   o h m / s e R 2 aumenta a uma taxa de 0,5   o h m s / s , a que taxa R varia quando R 1 = 75   o h m s e R 2 = 50   o h m s ?

Passo 1

Para resolver qualquer uma dessas letras, a primeira coisa que temos que fazer é derivar implicitamente a equação da superfície. A derivada implícita vai ser aquela que quando derivarmos algo que não seja t , devemo colocar a derivada junto. Por que R , R 1 , R 2 , a princípio, são funções do tempo.

A equação que relaciona todas elas é:

1 R = 1 R 1 + 1 R 2

Para facilitar nossas contas, vamos escrever as frações como potência:

R - 1 = R 1 - 1 + R 2 - 1

A derivada do lado esquerdo vai ser:

R - 1 ' = - R - 2 R '

Passo 2

Vamos derivar o lado direito agora:

R 1 - 1 + R 2 - 1 ' = R 1 - 1 ' + R 2 - 1 ' = - R 1 - 2 R 1 ' - R 2 - 2 R 2 '

Vamos ter no final:

- R - 2 R ' = - R 1 - 2 R 1 ' - R 2 - 2 R 2 '

Multiplicando por - 1

R - 2 R ' = R 1 - 2 R 1 ' + R 2 - 2 R 2 '

Ele está usando uma nomenclatura diferente, vamos escrever dessa forma. Para isso, vamos ver que:

R ' = d R d t

R 1 ' = d R 1 d t

R 2 ' = d R 2 d t

Nossa equação fica:

R - 2 d R d t = R 1 - 2 d R 1 d t + R 2 - 2 d R 2 d t

Passo 3

Vamos substituir os valores que ele deu:

R 1 ' = d R 1 d t = - 1

R 2 ' = d R 2 d t = + 0,5

Atenção que ele diz quie R 1 diminui e R 2 aumenta, então temos que colocar menos e mais respectivamente.

R 1 = 75

R 2 = 50

Vai faltar só o valro de R , para isso, vamos usar a equação original dele, com os valores de R 1 e R 2

1 R = 1 75 + 1 50

1 R = 2 150 + 3 150

1 R = 5 150

R = 150 5

R = 30

Passo 4

Vamos para a equação com a taxa:

30 - 2 d R d t = 75 - 2 - 1 + 50 - 2 0,5

1 900 d R d t = - 1 5625 + 1 5000

Multiplicando por 900

d R d t = - 900 5625 + 900 5000

d R d t = - 4 25 + 9 50

d R d t = - 8 50 + 9 50

d R d t = 1 50   o h m s / s

Resposta

d R d t = 1 50   o h m s / s

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