Enunciado

O volume de um cubo aumenta a uma taxa de 1200   c m 3 / m i n no instante em que suas arestas têm 20   c m de comprimento. A que taxa os comprimentos das arestas variam nesse momento?

Passo 1

Vamos começar achando a expressão que relaciona o volume do cubo com sua aresta.

V = l 3

O temos que fazer é derivar implicitamente a equação do volume. A derivada implícita vai ser aquela que quando derivarmos algo que não seja t , devemo colocar a derivada junto. Por que l , V , a princípio, são funções do tempo.

A derivada do lado esquerdo é direto porque só tem o V . Vamos derivar o lado direito primeiro então:

l 3 ' = 3 l 2 l '

Vamos ter no final:

V ' = 3 l 2 l '

Ele está usando uma nomenclatura diferente, vamos escrever dessa forma. Para isso, vamos ver que:

V ' = d V d t

l ' = d l d t

Nossa equação fica:

d V d t = 3 l 2 d l d t

Passo 2

Agora que temos a relação entre as taxas, vamos substituir os valores que ele deu:

d V d t = + 1200   c m 3 / m i n

Lembrando de colocar o + na frente porque ele disse que o volume aumenta, então a taxa é positiva.

E

l = 2 0   c m

Encontraremos:

1200 = 3 20 2 d l d t

1200 = 1200 d l d t

d l d t = 1   m / m i n

A unidade vai ser comprimento por tempo, que será m por minuto.

Resposta

d l d t = 1   m / m i n

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