Enunciado

Expresse o limite como integral definida.

lim | | P | | → 0 ⁡ ∑ k = 1 n 1 c k Δ x k

Onde P é uma partição de [ 1,4 ]

Passo 1

Temos que transformar uma soma de Riemann, no qual a norma da partição tende a 0, em uma integral definida. Desta forma, precisamos descobrir quem é a função f x e os números reais a e b tais que:

lim | | P | | → 0 ⁡ ∑ k = 1 n f c k Δ x k = ∫ a b f x d x

Em que f ( x ) é o integrando, a o limite inferior e b o limite superior. Os números a e b serão os dois extremos da partição da função. Já para descobrir quem é f ( x ) , basta fazer a substituição c k = x , pois a soma de Riemann é dada da seguinte forma.

S P = ∑ k = 1 n f c k Δ x k

Passo 2

A partição P é o intervalo [ 1,4 ] . Portanto, o limite inferior é 1 e o superior é 4. Consequentemente, os números reais a e b são:

a = 1

b = 4

Passo 3

Para descobrirmos quem é o integrando, vamos fazer a substituição c k = x no limite que devemos calcular. Assim temos:

lim | | P | | → 0 ⁡ ∑ k = 1 n 1 c k Δ x k = lim | | P | | → 0 ⁡ ∑ k = 1 n 1 x Δ x k

Comparando o que obtemos com o limite da soma de Riemann, isto é:

lim | | P | | → 0 ⁡ ∑ k = 1 n 1 x Δ x k = lim | | P | | → 0 ⁡ ∑ k = 1 n f x Δ x k

Descobrimos que f x = 1 x .

Passo 4

Compondo todos os resultados que descobrimos anteriormente, podemos enfim escrever a seguinte integral definida:

∫ 1 4 1 x d x

Resposta

∫ 1 4 1 x d x

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7. Calcule c ) ∫ ( sin ⁡ x + cos ⁡ x ) 2 d x
6. Calcule g ) ∫ ( sin ⁡ x + cos ⁡ x ) 2 d x
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4. Calcule b )∫ - π 2 π 2 cos ⁡ x 2d x
6. Calcule c ) ∫ sin 2 ⁡ 3 xd x