Enunciado

Duplicando o seu dinheiro: Determine qual o tempo necessário para que um investimento de $500 dobre de valor em uma aplicação que rende 4,75% de juros compostos anualmente.

Passo 1

Então, galera, essa questão tá pedindo apenas pra vocês adaptarem esse problema específico em uma equação geral (já existente) pra juros compostos. A equação é essa, olha:

M   = C   × ( 1   + i ) t , onde M é o montante (a quantidade final de dinheiro), C é o capital inicial (não é a banda kkkkk), ou seja, o dinheiro colocado inicialmente, i é quanto ele rende e t é o tempo (pode ser medido em dias, meses, anos, etc). Ok?

Depois de montar a equação no molde do nosso problema, nós vamos calcular o que ele quer. Ele quer que você descubra o tempo ( t ) pra que o dinheiro investido dobre, ou seja, vire $1000 nessa aplicação de 4,75% ao ano. Bora ver como faz?

Passo 2

Agora é só continha!

Vamos jogar os valores que o problema deu e achar a nossa função:

M   = C   × ( 1   + i ) t   →   M   = 500   × ( 1   + 0,0475 ) t   → M   = 500   × ( 1,0475 ) t  

PS: aquele 0,0475 é a mesma coisa que os 4,75%, tá?

Agora, ele quer o tempo pra que M   =   1000

M   = 500   × ( 1,0475 ) t   →   1000   = 500   × ( 1,0475 ) t   →   1000 500   = ( 1,0475 ) t   → 2   = ( 1,0475 ) t

Tá vendo que o que a gente quer (o tempo) tá no expoente? Pra tirar de lá, a gente aplica logaritmo dos dois lados. Mas qual a base? Pra facilitar a vida, a gente pode usar a base 2 ou a base 1,0475, mas, como 2 tá mais bonitinho e mais fácil pra calcular, vamos usar ele mesmo hehe.

2   = ( 1,0475 ) t   → l o g 2   2   = l o g 2   ( 1,0475 ) t  

Agora, vamos lembrar essa propriedade de logaritmo       l o g b     a n   =   n   l o g b     a

E essa também l o g n   n   = 1 pra qualquer n ≠ 0   e   n   > 1

Então, vai ficar assim:

1   = t   l o g 2   ( 1,0475 )

Aqui eu tive que fazer na calculadora mesmo kkkkk

l o g 2   ( 1,0475 ) ≃     0,067

1   = t   l o g 2   ( 1,0475 ) → 1   = 0,067   t   →   t   =   1 0,067   =   14,92 anos

É muuuuuuito tempo, mas repara que aquele rendimento ali era anual, então é pra ser demorado mesmo

Resposta

14,92 anos

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