Enunciado

A duração de um prodecimento médico trabalha com valores de concentração c > 1 ,   e é dado por:

t = ln ⁡ 3 c + 9 c 2 - 8 c 2

Derive e interprete.

Passo 1

E aí, galerinha!

Nesse problema foi dada uma função que representa a duração de um procedimento médico t em função de uma concentração c .

t = ln ⁡ 3 c + 9 c 2 - 8 c 2

E nosso objetivo é derivar essa função e interpretar o resultado.

Parece complicado?

A primeira coisa que podemos perceber da função t é que ela é uma função composta. Ou seja, temos u = 3 c + 9 c 2 - 8 c 2 dentro da função ln ⁡ u .

Nesses casos, para calcular sua derivada podemos aplicar a regra da cadeia.

f x = g h x ,     f ' x = h ' x · g ' h x

Bora começar!

Passo 2

Vamos aplicar a regra da cadeia em t

t ' = d 3 c + 9 c 2 - 8 c 2 d c · d ln ⁡ h x d h x

Na derivada de fora, consideramos a função de dentro como uma variável.

t ' = 1 2 d 3 c + 9 c 2 - 8 c d c · d ln ⁡ u d u

Aplicando a propriedade de soma de derivada

t ' = 1 2 d 3 c d c + d 9 c 2 - 8 c d c · d ln ⁡ u d u

Perceba que em 9 c 2 - 8 c temos outra função composta, então vamos aplicar a regra da cadeia tambem nesse termo.

t ' = 1 2 d 3 c d c + d 9 c 2 - 8 c d c · d v d v · d ln ⁡ u d u

Pelo teorema fundamental do calculo e pela regra da potência, temos

t ' = 1 2 3 + 18 c - 8 · 1 2 v · 1 u

t ' = 1 2 u 3 + 9 c - 4 v

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Não podemos deixar o resultado em função de u e v , então voltamos para suas funções originais.

t ' = 1 2 3 c + 9 c 2 - 8 c 2 3 + 9 c - 4 9 c 2 - 8 c

t ' = 1 3 c + 9 c 2 - 8 c 3 + 9 c - 4 9 c 2 - 8 c

Show?

Toda derivada de uma função representa a variação da função em relação a sua variável,

Portanto, esta derivada representa a taxa de variação do tempo do procedimento quando se varia a concentração.

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

t ' = 1 3 c + 9 c 2 - 8 c 3 + 9 c - 4 9 c 2 - 8 c

Esta derivada representa a taxa de variação do tempo quando se varia a concentração.

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