Efetue a antidiferenciação ∫ x 3 1 - 2 x ² d x

Passo 1

Essa integral pode ser resolvida utilizando a técnica da substituição de variável na integral. A primeira coisa que devemos fazer é definir quem deverá ser substituído. Nessa questão, quem deverá ser substituído será 1 - 2 x ² , sendo chamado de u. Assim:

u = 1 - 2 x ² Vamos reorganizar a equação e aplicar a derivada dos dois lados da equação:

2 x 2 = 1 - u x 2 = 1 - u 2 (1) 2 x d x = - 1 2 d u x d x = - 1 4 d u (2)

Passo 2

Vamos analisar a integral para efetarmos a substituição dos termos. Da equação 2 temos do lado esquerdo a expressão x d x , que pode ser facilmente obtida através de uma manipulação matemática na expressão da integral, abrindo o x ³ em x ² . x

∫ x 3 ( 1 - 2 x ² ) 1 / 2 d x = ∫ x 2 x ( 1 - 2 x ² ) 1 / 2 d x

Feito isso, podemos substituir as variáveis.

∫ x 2 u 1 2 ( - 1 4 ) d u

O termo x ² pode ser obtido através da manipulação da substituição da variável u. Nesse caso, ela já foi calculada no Passo 1, na quação (1). Fazendo a substituição na integral temos:

∫ 1 - u 2 u 1 2 ( - 1 4 ) d u

Passo 3

Feita a substituição resta apenas resolver a integral.

- ∫ 1 - u 2 4 u 1 2 d u = - ∫ ( 1 - u ) u - 1 / 2 2 * 4 d u - ∫ ( u - 1 2 - u 1 2 ) 8 d u - 1 8 u 1 2 1 / 2 - u 3 2 3 / 2 - 1 8 2 1 - 2 x ² 1 2 + 2 3 1 - 2 x ² 3 2 + C

Resposta

O resultado final é:

∫ x 3 1 - 2 x ² d x =   - 1 8 2 1 - 2 x ² 1 2 + 2 3 1 - 2 x ² 3 2 + C

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