Efetue a antidiferenciação ∫ x 3 ( x 2 + 4 ) 3 / 2 d x

Passo 1

Essa integral pode ser resolvida utilizando a técnica da substituição de variável na integral. A primeira coisa que devemos fazer é definir quem deverá ser substituído. Nessa questão, quem deverá ser substituído será x 2 + 4 , sendo chamado de u. Assim:

u = x 2 + 4 Vamos reorganizar a equação e aplicar a derivada dos dois lados da equação:

x 2 = u - 4 (1) 2 x d x = d u x d x = d u 2 (2)

Passo 2

Vamos analisar a integral para efetarmos a substituição dos termos. Da equação 2 temos do lado esquerdo a expressão x d x , que pode ser facilmente obtida através de uma manipulação matemática na expressão da integral, abrindo o x ³ em x ² . x

∫ x 3 ( x 2 + 4 ) 3 / 2 d x = ∫ x 2 x ( x 2 + 4 ) 3 / 2 d x

Feito isso, podemos substituir as variáveis.

∫ u - 3 2 x ² d u 2

O termo x ² pode ser obtido através da manipulação da substituição da variável u. Nesse caso, ela já foi calculada no Passo 1, na quação (1). Fazendo a substituição na integral temos:

∫ u - 3 2 ( u - 4 ) d u 2

Passo 3

Feita a substituição resta apenas resolver a integral.

∫ u - 3 2 u - 4 d u 2 ∫ ( u - 1 2 - 4 u - 3 2 ) d u / 2 1 2 u 1 2 1 2 - 4 u - 1 2 - 1 2 1 2 2 u 1 2 - 4 - 2 u - 1 2 1 2 2 u 1 2 + 8 u - 1 2 1 2 2 x 2 + 4 1 2 + 8 x 2 + 4 - 1 2 + C

Resposta

O resultado final é:

∫ x 3 ( x 2 + 4 ) 3 / 2 d x =   1 2 2 x 2 + 4 1 2 + 8 x 2 + 4 - 1 2 + C

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