Enunciado

Encontrando um centroide: encontre o centroide da região cortado do primeiro quadrante pelo circulo x 2 + y 2 = a 2 .

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

E analisando o gráfico para o primeiro quadrante, temos:

Onde nesse caso a = 1 mas poderia ser qualquer outro numero.

Temos que x ∈ [ 0 , a ] e tendo x definido, impomos que y = [ 0 , a 2 - x 2 ]

E temos que:

x c e n t = ∬ y   d x d y M

E análogo para y c e n t

y c e n t = ∬ x   d x d y M

E para M:

M = ∬ d x d y

Passo 2

Assim, para M:

M = ∫ 0 a ∫ 0 a 2 - x 2 d y d x

∫ 0 a ( y 0 a 2 - x 2 d x

∫ 0 a a 2 - x 2 d x

Para resolver integrais desse rtipo costumamos usar substituição, nesse caso, façamos x = a   s e n u , de forma que d x = a cos ⁡ u d u . E quando x=0, sem(u)=0, e quando x=a, sen(u)=1= π 2 . Assim:

∫ 0 π 2 a 2 - a   s e n u 2     a cos ⁡ u d u  

∫ 0 π 2 ( a 2 1 - s e n 2 u             a cos ⁡ u d u

∫ 0 π 2 a   1 - s e n 2 u         a cos ⁡ u d u

Lembrando a relação s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1   temos que cos ⁡ x = 1 - s e n 2 x . Assim:

∫ 0 π 2 a cos ⁡ u a cos ⁡ u d u

∫ 0 π 2 a 2 cos 2 ⁡ u d u

a 2 ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ u d u  

Sabendo que cos 2 ⁡ u = 1 2 1 + cos ⁡ 2 u .   Temos então:

a 2 ∫ 0 π 2 1 2 + cos ⁡ 2 u 2 d u  

Usando a propriedade que a integral de uma soma é soma das integrais:

a 2 1 2 ∫ 0 π 2   d u + 1 2 ∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 u d u  

Usando que c o s ∫ ⁡ a x d x =   1 a s e n a x + C . Temos então:

a 2 1 2 u 0 π 2 + 1 4   s e n u 0 π 2

M = a 2 π 4

(Resultado lindo de uma conta linda né, cara?! Diz aí :P)

Passo 3

Para M y :

M y = ∫ 0 a ∫ 0 a 2 - x 2 x   d y   d x

∫ 0 a ( x y 0 a 2 - x 2     d x

∫ 0 a x a 2 - x 2         d x

Dessa vez, façamos u = a 2 - x 2

E temos que quando x = 0 , u = a 2 e quando x = a , u = 0 . E d u = - 2 x d x , logo d x = - d u 2 Assim:

- 1 2 ∫ a 2 0 u   d u

Sabendo que ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C temos:

- 1 2 2 3 u 3 2 a 2 0

M y = a 3 3

Diz aí... qual você achou mais bonita, a equação de M ou de M y ?

Para M x :

M x = ∫ 0 a ∫ 0 a 2 - x 2 y   d y d x

∫ 0 a ( 1 2 y 2 0 a 2 - x 2   d x

1 2 ∫ 0 a a 2 - x 2   d x

Usando a propriedade que a integral de uma soma é soma das integrais:

1 2 a 2 ∫ 0 a d x - ∫ 0 a x 2 d x  

1 2 a 2 x 0 a - 1 3 x 3 0 a

M x = a 3 3

Que chato, né... essa foi bem mais fácil.

E vemos que M x = M _ y o que já era visível por simetria.

E como já dito anteriormente:

x c e n t = M y M

y c e n t = M x M

Logo

x c e n t = y c e n t = a 3 3 a 2 π 4 = 4 a 3 π

Resposta

x c e n t = y c e n t = 4 a 3 π

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