Enunciado

Encontrar a divergência e o rotacional do campo vetorial dado.

f → x ,   y ,   z = 2 x + 4 z ,   y - z ,   3 x - y z

Passo 1

Nosso trabalho nessa questão é bem simples: queremos calcular a divergência do campo vetorial f → dado. Bom, isso não é um desafio, já que conhecemos direitinho a expressão que dá a divergência do campo.

Vamos considerar o campo f → :

f → x ,   y ,   z = f 1 x ,   y ,   z   i → + f 2 x ,   y ,   z   j → + f 3 x ,   y ,   z   k →

A divergência desse campo vai ser:

d i v   f → = ∂ f 1 ∂ x + ∂ f 2 ∂ y + ∂ f 3 ∂ z

Passo 2

Bora lá! O campo dessa questão é:

f → x ,   y ,   z = 2 x 2 y 2   i → + 3 x y z   j → + y 2 z   k →

Então,

f 1 = 2 x 2 y 2

f 2 = 3 x y z

f 3 = y 2 z

Calculando as derivadas parciais, sem esquecer da regra da cadeia!

∂ f 1 ∂ x = ∂ ( 2 x 2 y 2 ) ∂ x = 4 x y 2

∂ f 2 ∂ y = ∂ ( 3 x y z ) ∂ y = 3 x z

∂ f 3 ∂ z = ∂ ( y 2 z ) ∂ z = y 2

Passo 3

Juntando tudo:

d i v   f → = ∂ f 1 ∂ x + ∂ f 2 ∂ y + ∂ f 3 ∂ z

Substituindo,

d i v   f → = 4 x y 2 + 3 x z + y 2

Fechou!

Resposta

d i v   f → = 4 x y 2 + 3 x z + y 2

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