Enunciado

Demonstre cada identidade, supondo que S e E satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que as funções escalares e as componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.

∬ S f ∇ g ∙ n   d S = ∭ E f ∇ 2 g + ∇ f + ∇ g d V

Passo 1

Temos a integral dupla:

∬ S f ∇ g ∙ n   d S = ∬ S f ∇ g ∙ d S

Temos pelo Teorema do Divergente:

∬ S F ∙ d S = ∭ E div ⁡ F d V

Com S sendo uma superfície fechada e E é a região dentro da superfície.

E usando o Teorma do Divergente, ficamos com:

∬ S f ∇ g ∙ d S = ∭ E div ⁡ f ∇ g d V = ∭ E ∇ ∙ f ∇ g   d V

Vamos agora usar as seguintes propriedades:

∇ ∙ f F = f ∇ ∙ F + ∇ f ∙ F

F = ∇ g

Assim:

∭ E ∇ ∙ f ∇ g   d V = ∭ E ∇ ∙ f F   d V = ∭ E f ∇ ∙ F + ∇ f ∙ F   d V = ∭ E f ∇ ∙ ∇ g + ∇ f ∙ ∇ g   d V = ∭ E f ∇ 2 g + ∇ f ∙ ∇ g   d V

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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