Enunciado

Demonstre cada identidade, supondo que S e E satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que as funções escalares e as componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.

∬ S D u f   d S = ∭ E ∇ 2 f d V

Passo 1

Temos pela definição que:

D n f = ∇ f ∙ n

Assim temos a integral dupla:

∬ S D n f   d S = ∬ S ∇ f ∙ n   d S = ∬ S ∇ f ∙ d S

Temos pelo Teorema do Divergente:

∬ S F ∙ d S = ∭ E div ⁡ F d V

Com S sendo uma superfície fechada e E é a região dentro da superfície.

E usando o Teorma do Divergente, ficamos com:

∬ S ∇ f ∙ d S = ∭ E div ⁡ ∇ f d V = ∭ E ∇ ∙ ∇ f   d V = ∭ E ∇ 2 f   d V

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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