Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A - Capítulo 5.10 - Ex. 8j

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desse livro

Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções:

j) g x = x + 4 ,     x ≤ - 2 x 2 - 2 ,     x > - 2

Passo 1

Então pessoal, caso não se lembrem, por definição uma função é crescente se ela for contínua em um intervalo [ a ,   b ] , derivável nesse mesmo intervalo e, por fim, se apresenta g ' x > 0 .

Por definição uma função é decrescente se ela for contínua em um intervlao [ a ,   b ] , derivável nesse mesmo intervalo e ,por fim, se apresenta g ' x < 0 . Essas são as definições para intervalos crescentes e decrescentes de uma função e basta apenas isso e um pouco de intuição para resolvermos o problema, tudo jóia? Então bora lá!

Passo 2

Se derivarmos a função que nos foi dada, teremos:

g ' x = 1 ,     x < - 2 2 x ,     x > - 2

Então galera, pelo resultado temos que para x < - 2 a derivada da função é constante e positiva, ou seja, é um intervalo totalmente crescente, não é mesmo? No entanto, para a segunda derivada, que é 2 x , temos que para a função ser crescente x > 0 . Resumindo o raciocínio, temos que:

Intervalos crescentes: ( - ∞ ,   - 2 ) ∪ 0 ,   + ∞ .

Intervalos decrescentes: - 2 ,   0 .

Passo 3

Agora que a primeira parte foi resolvida, temos que para descobrirmos quais são os máximos e mínimos de uma função existe um método bastante eficaz que utiliza derivação, assim como abordado no capítulo 5 da Flemming e Gonçalves. Vocês devem concordar que se um ponto é ponto de máximo ou mínimo, então sua derivada é nula nesse mesmo ponto, não é? Tendo isso em vista, devemos inicialmente descobrir os pontos críticos da função pela derivada primeira e, em seguida, analisar esses pontos críticos na função g de fato. Fica tranquilo, vamos passo a passo!

Derivando nossa função, teremos:

g x = x + 4 ,     x ≤ - 2 x 2 - 2 ,     x > - 2

g ' x = 1 ,     x < - 2 2 x ,     x > - 2

Passo 4

Agora que encontramos nossa derivada, igualando-a a zero, teremos:

1 = 0   e   2 x = 0

O primeiro caso é um completo absurdo, não é mesmo? Por mais que para o segundo caso ainda exista solução, que é para x = 0 , por não satisfazer a primeira equação, então temos que a função em x = 0 é indefinida! Além disso, a função também é indefinida em x = - 2 . Sendo assim, esses são os pontos críticos que temos. Como a questão não definiu nenhum intervalo para a função em questão, vamos substituir esses pontos na nossa função original para ver do que se trata, se liga:

g 0 = 0 2 - 2 = - 2

g - 2 = - 2 + 4 = 2

Portanto, pelo resultado:

Máximo da função: - 2 ,   2 ;

Mínimo da função: 0 ,   - 2 .

E estão aí nossos máximos e mínimos!

Resposta

Intervalos crescentes: ( - ∞ ,   - 2 ) ∪ 0 ,   + ∞ .

Intervalos decrescentes: - 2 ,   0 .

Máximo da função: - 2 ,   2 ;

Mínimo da função: 0 ,   - 2 .

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